Sujet : Résolution du problème de l'équation de la chaleur avec une méthode spécifique des matrices par bandes.
Réalisations
Pour évaluer la méthode de Crout pour résoudre l'équation de la chaleur, je voulais comparé ma méthode avec les méthodes développées par les autres membres du groupe de TT n°3, en appliquant leur méthode à ma matrice tridiagonale. Cependant par manque de temps je n'ai pu comparer Crout qu'avec la méthode de Sébastien Durand, le gradient conjugué.
Le tableau qui suit reste indicatif, n'étant valable que sur l'ordinateur de Sébastien. Nous avons appliquer la même matrice A et le même vecteur b à nos méthodes. Les résulatats sont identiques à 10^-4.
Crout * Crout * Crout * n 11 11 100 100 500 500 nombre d'opérations 192 9801 1883 5251100 9483 631255500 temps d'exécution (s) 0.01 0.05 0.06 0.25 0.8 35.78 * méthode du gradient conjugué
Ces résultats sont seulement à titres indicatifs, en effet l'un des paramètres de la méthode du gradient conjugué est la précision que nous avions pris pour avoir un résulat très précis.
Cependant il est évident que la méthode de Crout est plus optimal pour ce problème de l'équation de la chaleur. D'ailleurs on peut généraliser et dire que Crout est une méthode adaptée pour les matrices tridiagonales.
Crout a un inconvénients, elle fonctionne uniquement pour les matrices tridiagonales. De plus la matrice doit être soit définie positive, soit à diagonale dominante. Alors que la méthode du gradient conjugué fonctionne pour toute matrice à diagonale dominante.
On peut noter cependant que le problème de l'équation de la chaleur tel qu'il est posé ici est une approximation du problème. En effet le problème est posé sous la forme Ax = b et il nous donne le résultat à l'équilibre. Je conseille d'aller voir la méthode Crank-Nicolson pour obtenir le problème complet de l'équation de la chaleur ainsi que sa solution.
Avant de voir quelques exemples de résultats obtenus avec le programme matlab chaleur.m, je dois signaler que les valeurs obtenues sont à un coefficients multiplicateur près, en effet pour obtenir les vraies températures il faudrait multiplier les vecteurs résultats par le coefficient de conduction de la barre.
Les trois premiers exemples sont purements théoriques, on considère que le flux de chaleur est égale à 0 sur toute la barre et que l'on modifie ce flux ponctuellement.
Dans le dernier exemple, on considère un flux constant sur toute la barre, mais non égale à 0 et une modification ponctuelle. Ce cas est plus proche de la réalité.
( rappel les valeurs du flux sont rentrées dans le vecteur b, avec Ax = b)
Dans les exemples qui suivent la matrice A est une matrice 100x100.
Exemple 1 - cas théorique- : on applique en un seul point de la barre une valeur de 100 (abscisse 40) et le reste est à 0 (vecteur b de Ax = b).
La température est répartie de manière linéaire, avec un pic à la posistion où on applique le flux de 100.
Exemple 2 - cas théorique - : on applique un point à 100 et un à -100 (abscisse 60 et 40), le reste étant à 0 (vecteur b de Ax = b).
On retrouve une répartition linéaire de la température, et les deux pics de température dans les zones de pics de flux.
Exemple 3 - cas théorique - : on apllique un flux constant de 0 et deux points à 100 (abscisse 70 et 30).
Les deux pics de température correspondent aux pics de flux.
On remarque que l'un des pics de température est plus élevé que l'autre alors que les flux appliqués en ces points sont égaux.
Exemple 4 -cas théorique - : on applique deux points à 100 (abscisse 40 et 60) et on place un point à 40 entre les deux (abscisse 50).
Toujours une forme linéaire avec les trois pics aux mêmes endroits que les pics de flux. Cependant il est intéressant de voir que le pic du milieu qui est le pic maximal de température correspond à la plus petite valeur de flux. Cette zone cumule le flux appliqué à cette zone et les flux appliqués autour.
Exemple 5 - cas pratique - : on applique une valeur constante de 19 sur tout le vecteur b et on met un point à 100 (abscisse 30).
Dans cette exemple plus proche de la réalité on voit que la température ne se répartie plus de manière linéaire, mais plutôt parabolique.
Le sommet n'est pas à l'endroit où nous appliquons le flux de 100. C'est un point intéressant à noter.
La température se répartie sur la barre en parabole avec un sommet toujours au milieu de la barre, malgré l'application d'un flux important décentré.
Exemple 6 - cas pratique - : on applique une valeur constante de 19 sur tout le vecteur b et on met deux point à 100 (abscisse 30 et 80).
Même forme parabolique de la solution, cependant on remarque que la parabole est plus plate sur le dessus et plus large. Cela vient du fait qu'il y a deux sources de flux de chaleur.
Par contre le maximum n'est pas l'endroit où l'on applique les deux flux (en 30 et 80 sur l'abscisse).
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