La Carte Topographique (II)

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CR ED50, CG ED50, piquer, formes

III) Savoirs et savoir-faire liés à la carte topographique.

La notion d'échelle est importante. C'est le rapport entre une distance graphique mesurée sur la carte et celle équivalente sur le terrain, les deux étant exprimées dans la même unité.
Elle s'exprime sous la forme 1 / E en topographie mais en électronique on peut voir des échelles du genre E /1. 
Plus le dénominateur est grand, plus l'échelle est petite.
D'autre part une image en est donnée sous la forme ci-dessous. Elle permet de se mettre un ordre de grandeur en tête.

3.1) Mesurer, sur la carte, une distance au double décimètres

Il est évident qu'il faut savoir lire sur une règle graduée. Quand on dit lire, c'est en fait savoir interpoler entre les graduations.

L'échelle de la carte étant de 1 / 25 000ème, que représente les 7.4cm sur le terrain? L'échelle représente le rapport entre mesure graphique et mesure terrain. Il faut donc effectuer 7.4cm x 25 000 = 185 000 ...... cm, soit m . Observons que nous avons multiplié par le dénominateur de l'échelle.

3.2) Mesurer une distance au kutch

Cette opération nécessite une ..... opération de multiplication. Ce n'est pas que le topographe rechigne à opérer, il le fait souvent bien, de tête mais multiplier les tentatives, multiplie aussi les risques de faute. C'est pourquoi ont été inventées des échelles directement graduées en fonction de l'échelle. Y a pu qu'à ..... lire sur cet instrument appelé kutch.

Avec ce principe, il faudrait autant de kutchs que d'échelles. Les constructeurs de kutchs ont donc fait  observer aux utilisateurs qu'entre une échelle au 1 / 2500 et une échelle au  1/25000, il n'y avait qu'un rapport de 10, ce qui n'est pas trop difficile à observer ni à utiliser. C'est pourquoi le kutch au 1/2500 utilisé ci-dessus peut aussi être mis à contribution pour le 1/25000ème à la condition d'ajouter un 0 aux chiffres inscrits au regard des graduations. Ainsi le 50 sera lu 500, le 100, 1000, etc, etc,...

Vous aurez compris que ce kutch peut aussi être utilisé aux échelles du 1 / 250 000, 2 500 000ème, 250ème, 25ème etc, etc 

3.3) Déterminer l'échelle

Certaines parties de plans ou cartes sont parfois photocopiées pour servir de fonds de travail. L'échelle est parfois oubliée. Il existe un moyen de la retrouver. Il est d'ailleurs unique. Il faut, à tout pris mesurer au double décimètres, une distance entre deux points connus sur le terrain.
Si une partie du cadre apparaît, c'est facile. En mesurant 4.0cm entre les deux repères identifiés 547km et 548km de la zone Lambert I, on peut déduire que :

On en déduit que l'on peut donc utiliser un kutch au 25000ème.

Parfois c'est un peu plus compliqué quand la photocopieuse a déformé légèrement la copie. Au lieu de trouver 4.0cm, on trouve 3.72cm. 

Si on mesure une distance sur cette copie à l'aide d'un kutch au 1/25000ème, la mesure annoncée sera légèrement plus . Bravo, vous avez droit à une récompense .
Mais de combien? La distance n'a effectivement été multipliée que par 25000 alors qu'elle aurait du l'être de 26881.72 . Il faut donc la multiplier à nouveau par le rapport (26881.72 / 25000) pour avoir la distance terrain équivalente à celle mesurée sur une copie déformée. Ce rapport égal à 1.07527, dans notre exemple, est un module par lequel il faudra multiplier toute distance mesurée au kutch au 1/25000 sur cette copie. 
La pratique montre qu'une photocopie déforme le document original d'une manière inégale dans le sens longitudinal et le transversal. Il faut donc déterminer et appliquer 2 modules différents quand vous mesurez dans ces deux sens. 
Oui mais quand on mesure dans un sens intermédiaire? On applique alors une valeur moyenne de module !

3.4) Déterminer une distance graphique

L'échelle étant de 1/25000ème, calculer la distance graphique entre le clocher de Gouville sur mer et la borne géodésique, cotée 48m, située à l'intersection de la D274 et de la D432 et sachant que sur le terrain la mesure de cette distance plane est de 2712,365m.

3.5) Définir les coordonnées planes Lambert NTF d'un point de la carte

Essayons de déterminer, à partir de la carte, les coordonnées planes dans le système NTF, de la borne cotée 48m. On peut voir que celle-ci est entourée de quatre petites croix. Ces dernières matérialisent le quadrillage dont les amorces sont représentées dans le cadre. Ces croix matérialisent toujours le système représenté en noir (celui de la zone I ou III), jamais celui représenté en bleu (zone II étendue). Évidemment quand vous travaillerez dans la zone Lambert centre, il n'y aura qu'un seul quadrillage, en noir.
Il suffit donc que vous kutchiez l'abscisse et l'ordonnée relative aux bords du carré entourant la borne, ici e=765m et n=510m et que vous les ajoutiez aux valeurs absolues des amorces du cadre correspondantes aux croix entourant la borne.

Dans notre exemple, les coordonnées planes Lambert zone I de la NTF, obtenues graphiquement, de notre borne, seront:
E (X) = 316km + 765m = 316 765m
N (Y) = 162km + 510m = 162 510m

3.6) Définir les coordonnées planes Lambert d'un point de la carte

Apparemment le problème est le même que ci-dessus, sauf que la projection est en zone II étendue. La difficulté supplémentaire rencontrée est qu'aucun quadrillage n'est représenté sur le fond de carte en ce qui concerne cette zone II étendue. En d'autres mots, il n'y a pas de petites croix de couleur bleue. Attention, vous ne devez pas confondre avec le quadrillage de couleur bleue du système WGS84 nécessaire à un repérage GPS.
Vous ne pourrez pas travailler de manière relative. Il faudra le faire d'une manière absolue en joignant au crayon fin, sur un calque les amorces de même valeur ( ici, 316 et 317 en E et 462 et 463 km en N) situées de part et d'autre de la carte. Vous dessinerez ainsi un carré autour de la borne à localiser et vous mesurerez les appoints (ici, 531m en E et 468 en N).
La borne aurait donc pour coordonnées planes Lambert II, E=316531m et N=462468m. Si on ne veut aucun doute nous devrions marquer: E=316531m et N=2462468m. Vous avez repérez la différence?

Vous pouvez vérifier à l'aide du logiciel "Circe2000" écrit sous Excel que l'IGN met à disposition du public afin qu'il puisse effectuer les transformations de coordonnées d'un système à un autre. En cliquant sur ce logo, vous pourrez télécharger la version compressée de juin 2001.

D'autre part, vous n'avez pas la berlue, le quadrillage semble "penchée" par rapport aux bordures de la carte. Est-ce que l'auteur n'était pas réveillé, avait-il bu un verre de trop quand il a élaboré ce petit dessin? Non, rien de plus normal! Il s'agit d'un problème de convergence des méridiens que l'auteur se propose, à jeun, de vous expliquer un peu plus bas dans cette page.

3.7) Définir les coordonnées géographiques NTF d'un point de la carte

La méthode suivie dans les deux paragraphes précédents est en fait la même. Elle consiste à préciser, avec rigueur, dans quel système on veut s'exprimer, puis de repérer les amorces qui lui correspondent dans le cadre. On marque le quadrillage correspondant dans la carte puis enfin on localise le point à déterminer dans ce quadrillage. Appliquons encore une fois cette méthode mais ici adaptée au système géodésique de la NTF en utilisant l'expression des coordonnées géographiques. Les appoints exprimés en cgons sont trouvés en effectuant les proportions avec les distances mesurées au kutch. En effet, il n'existe pas de kutch gradué en gons!
On mesure donc au kutch la distance séparant les deux parallèles à 54.5 et 54.6 gons soit ici 9950m puis entre les méridiens 4.4 et 4.3 gons, soit 6600m.
En mesurant au kutch entre ma borne et le méridien 4.30, j'ai trouvé 660m, ce qui représente le 1/10ème de 6600m. J'applique la même proportion à l'expression géographique soit (4.40-4.30)/10=0.01gon.
De même, en mesurant au kutch entre ma borne et le parallèle 54.50, j'ai trouvé 4975m, ce qui représente la moitié de 9950m. J'applique la même proportion à l'expression géographique soit (54.60-54.50)/2=0.05gon. La borne a donc pour coordonnées géographiques NTF:
4.30+0.01=4.31gons Ouest
54.50+0.05=54.55gons Nord
Ces deux valeurs expriment les coordonnées géographiques NTF de notre borne. Nous savons qu'une longitude est Est ou Ouest du méridien origine. Ce dernier est celui de Paris. Comme notre point est situé dans le Cotentin, cette situation explique pourquoi les latitudes croissent de droite (Est) à gauche (Ouest) de la carte. Vous voyez qu'il est important, aussi, de savoir repérer le sens croissant d'une échelle de valeurs. Ici il ne fallait pas commettre l'erreur de soustraire les 0.01gon au 4.30gons. 
L'IGN a bien noté la position de la borne à -4.31gons dans la feuille calculée par Circe2000.

3.8) Définir les coordonnées planes WGS84 d'un point de la carte

Là encore, la méthode consiste à préciser, avec rigueur, dans quel système on veut s'exprimer, puis de repérer les amorces qui lui correspondent dans le cadre. On marque le quadrillage (ici, c'est fait) correspondant dans la carte puis enfin on localise le point à déterminer dans ce quadrillage. Les appoints se mesurent au kutch
606km+290m=690290m
5439km+275m=5439275m
Ces coordonnées planes UTM, WGS84 sont celles affichées par un GPS

3.9) Définir les coordonnées géographiques WGS84 ou RGF93 d'un point de la carte

Nous opérerons comme pour les coordonnées géographiques NTF car je n'ai toujours pas trouvé de kutch gradué en degré. Là encore, la méthode consiste à préciser, avec rigueur, dans quel système on veut s'exprimer, puis de repérer les amorces qui lui correspondent dans le cadre. On marque le quadrillage correspondant dans la carte puis enfin on localise le point à déterminer dans ce quadrillage. Les appoints se mesurent au kutch.
On trouve 1535m et 3200m. Les appoints sont à exprimer en ° ' ". Il faut donc procéder par proportion.
Sachant que 9212m, mesuré au kutch, représentent 5' alors 5'x1535/9212=0'8332 soit dans le système sexagésimal: 0'+60"x0.8332=0'50". 
Sachant que 6075m, mesuré au kutch, représentent 5' alors 5'x3200/6075=2'6337 soit dans le système sexagésimal: 2'+60"x0.6337=2'38".
Les coordonnées géographiques WGS84 de notre borne seront donc de :
1°32'38" de longitude Ouest par rapport au méridien international de Greenwich et de 49°05'50" de latitude Nord.

3.10) Définir les coordonnées planes ED50 d'un point de la carte

Changeons de carte pour illustrer cette partie car celle TOP25, 1212ET de La Haye du Puits, Lessay est renseignée en WGS84.
Celle topographique d'Epernon, 2115 Est l'est en ED50. Nous n'insisterons pas plus parce que la démarche à suivre est la même que celle décrite au paragraphe 3.8)

3.11) Définir les coordonnées géographiques ED50 d'un point de la carte

De même, nous n'insisterons pas plus parce que la démarche à suivre est la même que celle décrite au paragraphe 3.9)

3.12) Piquer un point  

Piquer un point consiste à repérer ou marquer sur la carte (ou un calque posé dessus) un détail dont on connaît les coordonnées.
Si votre GPS affiche les coordonnées planes WGS84 en projection UTM de 606290m et 5439275m fuseau 30, il vous suffit de repérer les abscisses 606 et 607km et les ordonnées 5439 et 5400km puis de reporter au kutch les appoints 290 et 275m. C'est en fait l'inverse de ce que nous avons appris à faire ci-dessus. Évidemment, il faut être très vigilant au système dans lequel sont exprimées les coordonnées qu'elles soient géographiques ou planes.

Dans le même genre, vous aurez souvent un repère géodésique à situer sur la carte, connaissant sa localisation issue des fiches signalétiques de l'IGN. Prenons l'exemple de deux repères géodésiques pris dans la commune de Gazeran (78)

3.13) Mettre en évidence les formes de la carte

Peut-être n'avez-vous pas été sans remarquer au paragraphe 3.7) que la distance mesurée au kutch entre les deux parallèles 54.5 et 54.6gons représentait 9950m et que celle mesurée entre les deux méridiens 4.4 et 4.3gons représentait 6600m. Pourtant la différence de 0.10 gon entre les deux méridiens et les deux parallèles est bien identique! Comment cela se peut-il? Analysons le problème à l'aide de schémas!
Commençons par la différence de latitudes! Un schéma est en perspective, l'autre est dans le plan du méridien.

Nous avons donc la longueur d'un arc de cercle à calculer. Vous savez tous, bien entendu, que L=Rxa^rd. Tout topographe doit l'avoir en tête! Appliquons sachant que notre angle au centre est connu en gons.

La différence entre les 10.006km, calculés et les 9.950km mesurés graphiquement viennent de l'imprécision de cette dernière due aux pliures de la carte.

Intéressons nous à la différence entre les deux méridiens!

Là encore nous devons calculer une longueur d'arc, l'AB. Nous utiliserons donc le même outil de calcul : L = r x a^rd. La variable r n'est pas connue mais peut être déduite de la valeur de R, le rayon terrestre et de la valeur de la latitude.

La différence notable entre les 6.557km calculés et les 6.600km mesurés est aussi due à l'imprécision graphique de même qu'au calcul sur la sphère et non pas sur l'ellipsoïde.

Effectuons le même calcul, c'est à dire, toujours avec la même différence de longitude entre les deux méridiens de 0.1gon mais à la latitude 54.6gons.

On peut donc remarquer que pour une même différence de longitude, ici 0.1gon, la distance entre deux points s'amoindrit en fonction de la latitude, ici de 6557m-6546m=11m. A la limite, cette distance entre deux points situés sur deux méridiens séparés de 0.1gon, est nulle aux pôles. Cela s'explique par le fait que tous les méridiens convergent aux pôles.

Quand on observe le cadre de cette carte topographique, on peut observer que tous les points situés sur sur la ligne Nord sont sur le même parallèle 54.80gons, que tous ceux de la ligne Sud, sur le même parallèle 54.50gons. Il en est de même sur les méridiens 4.50 et 4.20gons.

Quand on se rappelle comment a été définie la projection conique conforme Lambert, on n'est pas surpris de voir les méridiens converger vers le pôle Nord et les parallèles suivrent des arcs de cercles centrés au pôle. Comme nous venons de le voir, les bordures de carte suivent ces mêmes parallèles et méridiens alors une carte topographique se présente ainsi:

Toutes les cartes topographiques obtenues à partir d'une projection conique conforme de Lambert auront leurs bordures Nord et Sud en arc de cercle (en première approximation), la Nord étant plus courte que la Sud, et les bordures Ouest et Est convergeront et ne seront donc pas parallèles. Quelle surprise!