Le point isolé par

la méthode du point approché.

3°) Le point isolé par la méthode du point approché.

La problématique: elle est issue du cours sur les erreurs. En effets, nos mesures, n'étant pas sûres, sont multipliées. 

Ainsi dans le cas de la détermination d'un point isolé par intersection, deux stations et deux visées suffisent mathématiquement. D'une part, cette détermination unique n'est pas suffisante pour mettre en évidence une faute et, d'autre part, (voir cours sur les erreurs), une seule balle laisse peu de chance d'atteindre la cible. 

Pour augmenter les chances, on pointe, en plus, d'une 3^ème station, d'une 4^ème, etc... Ainsi se retrouve- t'on avec un chapeau représentant de multiples solutions. Laquelle choisir qui soit la plus probable?

La méthode par le point approché, permet de résoudre ce type de problème. Il est vrai qu'elle date un peu. Elle a été motivée par le fait que les calculs, exécutés à l'aide des tables de logarithmes, étaient un peu "galères". Le principe était donc de les limiter au maximum et de recourir à des méthodes graphiques. La méthode dite "du point approché", mitige les deux techniques. Elle est semi-graphique.

Elle est constituée de quatre étapes que les BT et BTS doivent bien assimiler.

• choix d'un point approché: par calcul ou graphiquement. On appelle point approché, un point qui s'avérera à proximité du point qui sera pris comme solution la plus probable.

• situer les lieux géométriques, issus des observations, à partir du point approché (graphiquement).

• choisir le point définitif (graphiquement)

• estimer la qualité du travail.

Nous ferons 3 exemples particuliers, dans le cas de l'intersection, du relèvement et de la multilatération et un exemple mélangeant les cas précédents (l'insertion) en suivant scrupuleusement les 4 étapes citées ci-dessus. Il est à noter que les "moindres carrés" est la solution numérique qui correspond à celle semi-graphique du "point approché".

Je reprendrai, en exemples numériques, ceux qui illustrent nombre de cours dans les différents centres, à savoir ceux édités par Michel Brabant, enseignant pilier du Lycée Loritz de Nancy. Ainsi vous pourrez vous y référer en toute autonomie.

3.1) l'INTERSECTION (données, point approché, lieux géométriques, point définitif, qualité)

Le service du Cadastre symbolise les visées d'intersection par la présence d'une petite croix (x) sur chacun des segments joignant une station au point intersecté.

3.1.1) les données du problème. 

Vous pouvez importer, au format A14, le fichier "intersection.dwg". Il vous permettra, à l'aide des zooms, de contrôler la méthode et les justifications.

3.1.2) choix du point approché 

• solution graphique: vous prenez une carte topographique au 1/25 000ème et, à partir de 2 points d'appui pris parmi les quatre et identifiés sur la carte, vous reportez les deux gisements observés. Les coordonnées rectangulaires, de l'intersection obtenue, seront à 4 ou 5m de celui définitif. Cet ordre de grandeur est lié à l'échelle de la carte.

• solution numérique: le point approché est le pendant numérique de la solution graphique décrite ci-dessus. On prend pour point approché, l'intersection de deux visées prises parmi les quatre possibles. La solution trouvée servira d'appui pour les étapes suivantes.
  Recommandation: il est utile de choisir les deux visées qui se coupent au mieux à 100 gons. La précision du point obtenue n'en est que meilleure et évite les cas en "sifflet".
   

Dans notre exemple, le choix des points d'appui A et B semble judicieux. Le calcul des coordonnées du point approché (appelé Ma) se fait classiquement par intersection de deux droites (voir fonctionnalité des programmes de topo de votre calculatrice).

L'application numérique donne: XMa = 684050.63m     YMa = 212520.43m

Si vous aviez été autonome, vous auriez, peut-être, choisi un autre point approché. Qu'importe, ces différents choix possibles, en première étape, ne faussent, en aucune façon, le résultat définitif. 

Cette première étape est ainsi atteinte. Situons, ensuite, ce qu'on a appelé les lieux géométriques, à savoir, dans notre cas de figure, les visées d'intersection, par rapport à notre point approché.

3.1.3) Positionnement des lieux géométriques. 

Situer une droite par rapport à un point, c'est connaître sa distance d à ce point ainsi que son gisement. 
Rappelons que ces droites sont des visées d'intersection. Maintenant que le point approché est connu, les directions POINT APPROCHE - STATION sont déterminables par calcul. Un simple R vers P par rayonnement suffit. 

Ce résultat, connu, permet la comparaison entre le gisement de la visée effectivement faite de la station avec celui de la direction définie entre station et point approché. Soit D", cet écart.

Soit G calculé, noté G_cal , et G observé, noté G_obs. G_cal = G_St-Ma donc D"= G_obs - G_cal.

Oh mais cette approche a déjà été faite au niveau de la sensibilité à la page précédente!

On sait que s^(cm) = 0.157 x D^(km) avec D, distance station-Ma et que donc d^(cm) = s^(cm) x D".

Application:

Une image, étant plus parlante qu'un long discours, il est apparu plus judicieux de faire une représentation graphique, à main levée, du positionnement des visées par rapport à Ma. La croix représentant le point approché en son centre ainsi que les axes X et Y, on va y situer les visées, maintenant que nous avons connaissance des directions et des décalages.

Nous avons donc tous les éléments pour faire un graphique précis à l'échelle. Mais quelle échelle choisir? On voit, dans le tableau ci-dessus, que le décalage maximum est de 18.3cm. Sur une feuille de format A3, c'est un décalage qui peut se représenter à l'échelle 1/1. Contentons nous de le faire au 1/10ème pour pouvoir l'intégrer au tableau de calcul.

Le point définitif se trouve probablement dans la zone hachurée (et non pas qu'aux seules intersections, la remarque ayant déjà été faite).

3.1.4) choix du point définitif 

Où choisir le point définitif dans cette zone la plus probable? Cette notion de "plus probable" est issue des remarques faites en pré-requis. 
Ce choix sera d'autant plus facile à faire que la zone sera petite. Alors réduisons la!
On pourrait le faire en décalant chaque visée de quelques cm. Ce décalage, égal pour toutes les visées, n'est pas tout à fait logique car est indépendant de la précision relative de chaque visée. Il serait concevable de décaler plus, les visées les moins précises. Nous avons vu que la précision est liée à la sensibilité. Alors lions la valeur du décalage, afin de réduire la zone d'indécision qu'est le chapeau, à celle de la sensibilité.
La plus grande des 4 sensibilités est d'environ 4mm. Quand on mesure les distances entre le centre de la zone et les visées, on voit que l'ordre de grandeur est d'environ 5 à 6cm.
En choisissant de décaler chaque visée de 20", cela représente un déplacement linéaire d maximum de d(cm) » ±4mm x 20" » ±8cm, ce qui est de l'ordre de grandeur escompté (5 à 6 cm).
Il faut bien se rendre compte que ce choix de 20" centésimales représentent une bande d'incertitude occasionnée par les erreurs accidentelles comme vue au paragraphe "précision" de la page précédente. Le choix de la valeur ( ici 20"), est conditionné par le petit calcul précédent. On aurait pu tout aussi bien choisir 10 ou 5".
Appliquons pour chaque visée:

Il vous suffit de choisir le centre de cette nouvelle zone pour point définitif.

Les coordonnées de celui-ci sont à mesurer, au kutch, à partir de celles connues du point approché représenté par le centre de la croix du système d'axes.

On avait  X_Ma = 684050.63     Y_Ma = 212520.43.
On mesure Dx = - 11cm et Dy = - 11cm Þ X_M = 684050.52m et Y_M = 212520.32m

Voilà la troisième étape terminée. Il faut bien se rendre compte que ce point définitif choisi représente le point le plus probablement proche du point vrai. C'est d'ailleurs pour cela qu'on va le prendre en référence. Le soucis est maintenant classique. A-t-on bien travaillé?

3.1.5) Appréciation de la qualité du travail 

C'est la caractéristique du niveau technicien, qu'il soit "supérieur" ou pas. Il doit non seulement annoncer la valeur du résultat demandé mais aussi "à combien prés", il l'obtient. Apprécier la qualité de son travail (voir les erreurs), c'est évaluer les écarts entre les observations et une valeur vraie ou prise comme vraie.
Maintenant nous avons notre point définitif qui sera pris comme le vrai ou, tout au moins, comme le plus probable. C'est donc lui qui nous servira de référence. La nature de cet objet géométrique est le point.
Les écarts entre les observations et le "vrai" s'apprécieront sur deux plans: l'angulaire et le linéaire.

3.1.5.1) la qualité angulaire

Le point définitif, étant considéré comme le vrai point, est celui qu'aurait du définir, d'une manière unique (sans chapeau), toutes les visées d'intersection. Ces visées "parfaites" peuvent être facilement obtenues puisque, maintenant, on a les coordonnées rectangulaires du point définitif. Un simple R®P résout ce problème entre le point définitif et chacune des stations.
Comme nous avons, aussi, les gisements des visées, effectivement observées, d'intersection, de chaque station, il suffit d'apprécier leurs différences.

Cette différence calculable, pour chaque visée observée, s'appelle l'écart d'orientation.

Apprécier la qualité d'un travail, c'est pouvoir dire qu'un écart est suffisamment petit. Cette notion est relative ....... à la tolérance. Cette dernière est, en particulier, fixée par l'Arrêté Interministériel du 21.01.1980.
Cette tolérance dépend de la catégorie du canevas d'ensemble. La technique du point isolé, étant caractéristique du canevas d'ensemble ordinaire, nous prendrons:
T(mgon) = ±4.3 x avec n=4, nombre de visées d'orientation sur point ancien. Ici T = ±3.7mgon. On peut, ainsi, constater que chacun de nos écarts eo est < T.

Nous savons aussi que, d'une série d'écarts, on peut en déduire (erreurs) l'écart-typique, ainsi calculé:
écart moyen quadratique: ± avec, ici, les vi = eo. On divise bien par n-1, n étant le nombre d'écarts, car le point pris pour définitif est acquis par "moyenne".
On trouve emq = ±2.0 mgon. Cet écart-type est, lui aussi soumis à tolérance administrative (voir l'Arrêté à la rubrique "Écart moyen quadratique d'orientation" que ce soit en "précision" ou "ordinaire").

x 1.7  ici T = ±2.9 mgon.
Là encore, cette approche du problème est confortable car elle confirme, ou non, si vous avez bien fait le travail. En plus, vous n'avez besoin de personne d'autre que vous même, pour vous dire si c'est bien ou pas. Cette autonomie vous libère des contraintes généralement rencontrées en milieu scolaire. Par contre, il faut en rendre compte à vos supérieurs, que le travail soit dans ou hors tolérance.

Passons à l'autre aspect de la qualité du travail, la linéaire.

3.1.5.2) La qualité linéaire.

Celle ci s'appréciera sous forme de distance d'un point (le définitif) à une droite (les visées).
Cet écart linéaire peut s'évaluer, facilement, de deux manières.

graphiquement: sur le graphique au 1/10ème, vous mesurez, tout simplement, cette distance entre le point définitif que vous venez de choisir et chacune des visées d'observation que vous avez dessinez.

numériquement: n'importe quel programme de "distance point-droite" vous communiquera cette valeur.

sur A (cm)	sur A (cm)	sur A(cm)	sur A(cm)
7.6	7.0	7.8	4.3

De même qu'en angulaire, chacun de ces écarts est à comparer à la tolérance administrative fixée à ±20cm (§ 3.4.1.d de l'Arrêté). Ouf, c'est encore bon pour nous!

Ces quatre écarts nous permettent de calculer l'écart-type:

= ±7.9cm. Cet écart-type linéaire s'appelle le rayon d'indécision. Il caractérise bien la précision du travail. Il est à comparer à la tolérance de l'Arrêté, fixée à ±12cm. Là encore, nous sommes dans la tolérance, ouf! Mais comment présenter cette qualité au client? Cette présentation peut faire l'objet d'un procès verbal.
Les coordonnées du point, que vous avez commandé, sont dans un cercle de rayon de 12cm, centré au point définitif X= 684050.52m et Y= 212520.32m.

Où exactement dans ce cercle, nul ne le saura jamais!

3.1.6) Document synthétique:

Toute cette démarche peut et doit se mettre sous forme synthétique conformément à ce qu'ont toujours fait nos prédécesseurs topographes. Cette présentation permet un suivi de la marche à suivre sans problème. Plus besoin du cours.

Vous pouvez importer le tableau de présentation "intersection.xls" écrit sous Excel afin de vous en resservir pour un autre calcul ou, tout simplement, suivre cet exemple.

Passons maintenant à une autre application usuelle, le relèvement.