Kurt Gödel est né le 28 avril 1906 à Brno, à 180 km au sud-est de Prague (Empire Austro-Hongrois, aujourd'hui situé en république tchèque). Il est le fils cadet de deux enfants de Rudolf et Marianne Gödel, des allemands expatriés travaillant dans l'industrie textile.

Rudolf et Kurt (1908)

Marianne, Kurt, Rudolf père et Rudolf fils (de droite à gauche) - 1910

Son père à force de travail devint directeur puis actionnaire d'une grande usine de textile de Brno. Il eut donc les moyens d'envoyer ses deux fils dans des écoles privés allemandes où ils firent de brillantes études. Contrairement à l'idée fort répandue selon laquelle les génies font des études médiocres, Kurt Gödel a été un élève brillant. Durant toute sa scolarité primaire et secondaire, Kurt n'aura qu'une seule fois une note inférieure au maximum en mathématiques. Malgré cela, son caractère très introverti fait qu'il ne se fait que peu remarquer.
En 1924, son diplôme du lycée technique de Brno en poche, Gödel va rejoindre son frère à Vienne. Celui ci avait commencé des études de médecine quatre ans plus tôt. Inscrit en Physique, Gödel s'oriente assez rapidement vers les mathématiques. Il obtient son titre de docteur en 1929, à 23 ans, sous la tutelle de Hahn. Avec sa thèse et son traité "Über formal unentscheitbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme" (Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés) publié comme article en allemand en 1931 et présenté comme thèse d'habilitation à l'enseignement en 1932, Gödel acquiert une réputation internationale.

Dans son article de 1931, Gödel révolutionne les mathématiques en montrant que certaines propositions vraies pour les nombres naturels sont indémontrables. On pourrait se dire que si on découvre un théorème vrai et indémontrable, il suffit de la prendre comme axiome. Cela ne sert à rien car Gödel a démontré qu'alors de nouvelles propositions vraies sur ces nombres restent indémontrables. Il remet en cause plus d'un siècle de recherches en mathématiques et la tentative de David Hilbert de formaliser entièrement les mathématiques. Pour Gödel cela montre que la démonstration de théorèmes mathématiques ne peut-être que mécanique et que l'intuition est nécessaire. Les concepts et méthodes introduits par Gödel sont au centre de la théorie des récurrences, fondamentale en informatique. En 1933 et 1934 Gödel enseigne son théorème d'incomplétude à Princeton. Plusieurs dépressions nerveuses l'empêchent d'enseigner jusqu'au printemps 1937, à Vienne. Il semble que Gödel ait été hypocondriaque et paranoïaque. En septembre 1938, Gödel épouse Adèle Porkert, une danseuse qu'il a rencontrée durant ses études à Vienne. Elle est sont aînée de 6 ans, Catholique et divorcée. Les parents de Gödel désapprouvent ce mariage.

Adèle et Kurt Gödel -1938

Peu de temps après, il retourne aux États-Unis présenter ses derniers résultats montrant que l'axiome du choix et l'hypothèse du continu sont compatibles avec les autres axiomes de la théorie des ensembles. Pendant son année aux États-Unis, son autorisation d'enseigner lui est retirée en Autriche et pendant l'été 1939, alors qu'il retrouve sa femme à Vienne, il est déclaré apte au service dans les forces armées nazies. Gödel, dans son isolement, n'avait jusque là pas mesuré la gravité des événements autour de lui. Sans emploi, incorporable, il obtient un visa de sortie. En janvier 1940, le couple s'enfuit vers les États-Unis en prenant le Transsibérien et un bateau pour San Francisco depuis Yokohama.

En 1948, Gödel obtient la nationalité américaine. Il y a une anecdote qui raconte que Morganstern Oskar conduisant Von Neumann et Gödel à l'interview de naturalisation leur demanda s'ils avaient des questions à poser. Gödel répliqua qu'il n'avait pas de question mais qu'il avait trouvé des inconsistances logiques dans la constitution des États-Unis et qu'il voulait poser la question à l'officier d'immigration. Morganstern l'invita fermement à ne faire que répondre et non pas poser des questions. Ce n'est qu'en 1953 que Gödel fut nommé professeur. La même année il fût élu à l'académie des sciences. Sa maladie mentale ne s'arrange pas et pendant des années, son ami Albert Einstein s'est occupé de lui, notamment avec des promenades quotidiennes qui apaisaient beaucoup Gödel.

Kurt Gödel et Albert Einstein

A partir de son arrivée aux États-Unis, Gödel délaisse la théorie des ensembles pour étudier la relativité, avec son ami de Princeton Albert Einstein, et les implications philosophiques de ses travaux. Gödel est ainsi connu parmi les physiciens pour avoir démontré que le voyage vers le passé est possible dans le cadre des équations de la relativité générale d'Einstein.

Gödel frôle la mort en 1950 parce que méfiant envers les médecins, il ne traite pas un grave ulcère. Son dernier article scientifique date de 1958. Il s'isole alors progressivement alors que se développe sa paranoïa et son hypocondrie. En juillet 1976, Gödel atteint l'âge de la retraite (70 ans) alors que sa femme qui l'a tant materné, est handicapée par un accident cérébral. Il la soigne avec dévouement jusqu'en juillet 1977 lorsqu'elle est opérée d'urgence et obligée de passer 6 mois à l'hôpital. Gödel se retrouve seul avec sa maladie mentale grandissante. Par peur d'un empoisonnement, il refuse de s'alimenter et meurt le 14 janvier 1978.