DYNAMIQUE DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES

1. DEFINITIONS

Le débit est le quotient de la quantité de fluide qui traverse une section droite de la conduite par la durée de cet écoulement.

a) Débit masse

Si m est la masse de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant le temps t, par définition le débit masse est :

 en kg.

b) Débit volume

Si V est le volume de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant le temps t, par définition le débit volume est :

en

c) Relation entre qm et qV

 d’où 

Remarques :

Les liquides sont incompressibles et peu dilatables (masse volumique constante) ; on parle alors d'écoulements isovolumes.

Pour les gaz, la masse volumique dépend de la température et de la pression. Pour des vitesses faibles (variation de pression limitée) et pour des températures constantes on retrouve le cas d'un écoulement isovolume.

d) Écoulements permanents ou stationnaires

Un régime d'écoulement est dit permanent ou stationnaire si les paramètres qui le caractérisent (pression, température, vitesse, masse volumique, ...), ont une valeur constante au cours du temps.

2. Equation de conservation de la masse ou équation de continuité

            a) Définitions

Ligne de courant : En régime stationnaire, on appelle ligne de courant la courbe suivant laquelle se déplace un élément de fluide. Une ligne de courant est tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse du fluide.

Tube de courant : Ensemble de lignes de courant s'appuyant sur une courbe fermée.

Filet de courant : Tube de courant s'appuyant sur un petit élément de surface. La section de base S du tube ainsi définie est suffisamment petite pour que la vitesse du fluide soit la même en tous ses points (répartition uniforme).

            b) Conservation du débit

Considérons un tube de courant entre deux sections S1 et S1. Pendant l'intervalle de temps t, infiniment petit, la masse m de fluide ayant traversé la section S1 est la même que la masse m ayant traversé la section S2.

    En régime stationnaire, le débit masse est le même à travers toutes les sections droites d'un même tube de courant.

Dans le cas d'un écoulement isovolume (= Cste) :

  En régime stationnaire, le débit volume est le même à travers toutes les sections  droites d'un même tube de courant.

c) Expression du débit en fonction de la vitesse v

Le débit volume est aussi la quantité de liquide occupant un volume cylindrique de base S à une vitesse égale à v, correspondant à la longueur du trajet effectué pendant l'unité de temps, par une particule de fluide traversant S.

               On a donc :                 

            d) Vitesse moyenne

En général la vitesse v n'est pas constante sur la section S d'un tube de courant ; on dit qu'il existe un profil de vitesse (à cause des forces de frottement). Le débit masse ou le débit volume s'obtient en intégrant la relation précédente :

            Dans une section droite S de la canalisation, on appelle vitesse moyenne v la vitesse telle que :                   v

La vitesse moyenne v apparaît comme la vitesse uniforme à travers la section S qui assurerait le même débit que la répartition réelle des vitesses. Si l'écoulement est isovolume, cette vitesse moyenne est inversement proportionnelle à l'aire de la section droite.

    C’est l’équation de continuité.

  La vitesse moyenne est d'autant plus grande que la section est faible.

3. Théorème de BERNOULLI

a) Le phénomène

Observations :

- Une balle de ping-pong peut rester en suspension dans un jet d'air incliné.

- Une feuille de papier est aspirée lorsqu'on souffle dessus.

Conclusion : La pression d'un fluide diminue lorsque sa vitesse augmente.

b) Théorème de Bernoulli pour un écoulement permanent d'un fluide parfait incompressible

Un fluide parfait est un fluide dont l'écoulement se fait sans frottement. On considère un écoulement permanent isovolume d'un fluide parfait, entre les sections S1 et S2, entre lesquelles il n'y a aucune machine hydraulique, (pas de pompe, ni de turbine).

Soit m la masse et V le volume du fluide qui passe à travers la section S1 entre les instants t et t+t. Pendant ce temps la même masse et le même volume de fluide passe à travers la section S2. Tout se passe comme si ce fluide était passé de la position (1) à la position (2).

En appliquant le théorème de l'énergie cinétique à ce fluide entre les instants t et t+t (la variation d'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces extérieures : poids et forces pressantes), on obtient :

p est la pression statique,

gz est la pression de pesanteur,

est la pression cinétique.

Tous les termes s'expriment en pascal.

En divisant tous les termes de la relation précédente par le produit g, on écrit tous les termes dans la dimension d'une hauteur (pressions exprimées en mètres de colonne de fluide).

H est la Hauteur totale,

 est la Hauteur de Pression,

z est la cote,

 est la Hauteur cinétique, 

z +  est la Hauteur piézomètrique.

c) Cas d'un écoulement (1)(2) sans échange de travail

Lorsque, dans un écoulement d'un fluide parfait, il n'y a aucune machine (ni pompe ni turbine) entre les points (1) et (2) d'une même ligne de courant, la relation de Bernoulli peut s'écrire sous l'une ou l'autre des formes suivantes :

  ou 

d) Cas d'un écoulement (1)(2) avec échange d'énergie

Lorsque le fluide traverse une machine hydraulique, il échange de l'énergie avec cette machine sous forme de travail W pendant une durée t.

La puissance P échangée est :

Unités : P en watt (W), W en joule (J), t en seconde (s).

· P > 0 si l'énergie est reçue par le fluide (ex. : pompe) ;                                                                                                                                       pompe

· P< 0 si l'énergie est fournie par le fluide (ex. : turbine).

Si le débit-volume est , la relation de Bernoulli s'écrit alors :

4. Application du Théorème de Bernoulli 

a) Tube de Pitot

On considère un liquide en écoulement permanent dans une canalisation et deux tubes                                                                                                                                                    plongeant dans le liquide, l'un débouchant en A face au courant, et l'autre en B est le long des lignes de courant, les deux extrémités étant à la même hauteur. Au point B, le liquide a la même vitesse v que dans la canalisation et la pression est la même que celle du liquide p = p.                                                                                                                                                                                                  

En A, point d'arrêt, la vitesse est nulle et la pression est p.

             D'après le théorème de Bernoulli :

                           soit   

En mesurant la dénivellation h du liquide dans les deux tubes, on peut en déduire la vitesse v d'écoulement du fluide.

b) Phénomène de Venturi

Un conduit de section principale S subit un étranglement en B où sa section est S.

La vitesse d'un fluide augmente dans l'étranglement, donc sa pression y diminue :        

Le théorème de Bernoulli s'écrit ici : 

D'après l'équation de continuité,  v S = v S = q  et  v > v   donc  p > p 

La différence de pression aux bornes aux extrémités du tube de Venturi est proportionnelle au carré du débit.

c) Écoulement d'un liquide contenu dans un réservoir - Théorème de Torricelli

Considérons un réservoir muni d'un petit orifice à sa base, de section s et une ligne de courant partant de la surface au point (1) et arrivant à l'orifice au point (2). En appliquant le théorème de Bernoulli entre les points (1) et (2)

Or p= p = pression atmosphérique.                                                                                                                                                                                   

Et v<<v d'où           v     

 La vitesse d'écoulement est la même que la vitesse de chute libre entre la surface libre et l'orifice, quelle que soit la masse volumique du liquide.