LA COURBE DES LIGNES FERROVIERES

Les courbes utilisées pour construire les autoroutes et les lignes de TGV ne sont pas uniquement constituées de droite et d'arcs de cercles. En effet, si une portion de ligne droite était subitement suivie d'un arc de cercle de rayon R, l'accélération normale du véhicule se déplaçant à la vitesse V passerait brutalement d'une valeur nulle à la valeur V²/R, entraînant désagrément pour les passagers et forte contrainte pour le matériel. Il est donc nécessaire d'utiliser des portions de courbes passant progressivement d'une courbure nulle à une courbure donnée. C'est le cas de la spirale de Cornu, également connue dans cette application sous le nom de clothoïde.

Dans cet article nous assimilerons systématiquement le plan R²au plan complexe C, permettant ainsi de traiter les vecteurs par leur seule affixe complexe plutôt que par leurs deux composantes.

lorsque t décrit R, F(t) décrit une courbe du plan complexe appelée spirale de Cornu (voir l'encadré). En séparant parties réelle et imaginaire, on a

Cette courbe est donc facile à tracer sous forme paramétrique en utilisant un logiciel graphique. La figure suivante a été effectuée en utilisant Maple.

Pour t croissant, le parcours se fait de la partie gauche vers la droite. Les intégrales de Fresnel étant des fonctions impaires, la courbe est symétrique par rapport à l’origine. Sa tangente à l'origine (en t = 0) admet pour vecteur directeur F’(0) = 1. Elle est donc portée par l'axe des abscisses.

D'autre part, elle admet deux points asymptotiques,
en +/- (l+i)/2

Car:

lim F(r)=	(1+i)
t->+inf	2

Pour le montrer, il suffit de montrer que:

(1+i)

(voir l'encadré à droite -->).

Construction des autoroutes
et lignes ferrovières

Les courbes utilisées pour construire les autoroutes et les lignes de TGV ne sont pas uniquement constituées de droite et d'arcs de cercles. En effet, si une portion de ligne droite était subitement suivie d'un arc de cercle de rayon R, l'accélération normale du véhicule se déplaçant à la vitesse V passerait brutalement d'une valeur nulle à la valeur V²/ R, entraînant désagrément pour les passagers et forte contrainte pour le matériel. Il est donc nécessaire d'utiliser des portions de courbes passant progressivement d'une courbure nulle à une courbure donnée. C'est le cas de la spirale de Cornu, également connue dans cette application sous le nom de clothoïde.

En effet, si F(t) s'interprète comme la position d'un point à l'instant t dans le plan, alors sa dérivée F'(t) est le vecteur tangent à la courbe au point considéré et s'interprète physiquement comme sa vitesse:

F '(t) = exp( i * Pi * t² /2)

Cette dérivée est de module 1. En termes mathématiques, ceci signifie que t est une abscisse curviligne de la courbe. En termes physiques, ceci signifie que la courbe est parcourue à vitesse constante V=1

Calcul de l'intégrale de Fresnel

Physiquement, F''(t) = (V²/ R) n est l'accélération normale. Il n'y a pas d'accélération tangentielle. On obtient:

D'où C = Pi * t. La courbure est donc proportionnelle à l'abscisse curviligne. En partant de l'origine; elle varie de 0 à +inf. le long de la spirale.

Réciproquement, on montre que les spirales de Cornu sont les seules courbes répondant à la question. En effet, si la courbure C est proportionnelle à l'abscisse curviligne s, on a les trois relations suivantes:

La relation (i) permet de déduire que Phi=lambda*s²/2 (en choisissant Phi=0 pour s=0, quitte à effectuer une rotation de la courbe).

(en choisissant x=y=0 pour s=0, quitte à translater la courbe). En effectuant enfin une homothétie de rapport racine de (lambda/Pi), on retrouve notre spirale de Cornu

Deux segment de droites orthogonaux, reliés d'une
part par un arc de cercle (courbe la plus haute et la
plus courte), d'autre part par deux arcs de clothoïde.
Dans ce dernier cas, il y a continuité de la courbure
tout le long de la trajectoire.
(Tracé réalisé avec Maple)

C(t)=
et S(t)=