Considérons la figure ci-contre : Pour  évaluer le  périmètre P du cercle on peut, dans un premier temps, considérer que celui-ci est compris entre celui du petit triangle inscrit et celui du grand triangle ex-inscrit. Soit  3.2r.sin 60° < P < 3.2r.tan 60° Si on choisit de prendre un cercle de rayon unité (r = 1) on voit que l'on a alors 5,196 < P < 10,392

Considérons maintenant la figure ci-contre où le cercle est cette fois-ci "encadré" par deux hexagones. Le périmètre P obéit désormais aux inégalités suivantes: 6.2.sin 30° < P < 6.2.tan 30°   soit 6 < P < 6,928

Doublons encore le nombre de cotés des polygones encadrant notre cercle :  On a maintenant : 12.2.sin 15° < P < 12.2.tan 15° soit 6,211 < P < 6,430

Vous avez compris le principe : on peut encadrer la valeur du périmètre en doublant à chaque fois le nombre de côtés des polygones et donc en faisant tendre celui-ci vers l'infini. Pour cela on pourra poser un = 2n sin (180/n) et vn = 2n tan (180/n). En posant n = 2k  avec k= 1 , 2 , 3 ,....(pour doubler le nombre de côtés à chaque itération), on voit que un désigne le périmètre du polygone intérieur et vn désigne le périmètre du polygone extérieur. Or pour tout n pair on a : un < P < vn et de plus un et vn convergent vers la valeur 6,283185307...qui n'est autre que 2 pi !  DONC LE PERIMETRE D'UN CERCLE DE RAYON UNITE VAUT 6,283185307.... Si on veut avoir pi il suffit de diviser par deux et on a pi = 3,141592654.............

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