2 Analyse théorique

2.1 L'enseignement du calcul mental : aspect historique.

2.2 Analyse du questionnaire aux professeurs

2.3 Analyse du questionnaire aux élèves

2.4 Calcul mental et mémoire

2.5 Les finalités du calcul mental

2.6 Les différentes méthodes d'enseignement du calcul mental

3 Les expérimentations

3.1 Présentation des classes

3.2 Présentation du scénario

3.3 L' évaluation initiale

3.4 Enseignement des procédures

3.5 Le calcul mental par le calcul rapide

3.6 Vérifications de résultats

3.7 Les séances de jeux

3.8 Bilan

4 Conclusion

ANNEXES

BIBLIOGRAPHIE

1. Introduction

 

Une des principales caractéristiques du calcul numérique est le grand nombre de règles qu’il met en jeu. Ainsi, les difficultés rencontrées par les élèves peuvent naître de l’acquisition insuffisante de certains concepts, tels les notions de nombre, de grandeur, le sens des opérations, leurs propriétés…

Dans le cas plus particulier du calcul mental, il existe un autre obstacle : ce domaine s’est enlisé dans un sous investissement lié à sa dévalorisation depuis l’avènement des calculatrices. Dès lors, il est légitime de se poser les questions suivantes :

• Comment le calcul mental est-il aujourd’hui perçu par les différents protagonistes du monde scolaire ?
• Quels bénéfices le calcul mental peut-il engendrer au sein de l’enseignement des mathématiques ?
• Face à la dévalorisation du calcul mental, peut-on l’enseigner au collège de façon efficace et motivante ?

 

A travers nos recherches et notre travail sur la multiplication, nous avons tenté de répondre à ces questions en partant de l’hypothèse suivante : être compétent en calcul mental, c’est savoir mobiliser spontanément la bonne procédure au bon moment.

 

2. Analyse théorique

 

1. L'enseignement du calcul mental : aspect historique.

 

1. Le calcul mental au fil du siècle

 

Depuis Jules Ferry, le calcul mental a toujours fait partie des programmes, qui ont connu une grande stabilité jusqu'à la réforme des mathématiques modernes.

Durant toute cette période, il était enseigné dans l'unique but de faciliter la vie quotidienne des élèves et des adultes qu'ils deviendraient.

"Les mots " vie courante", employés dans le programme, marquent la volonté d'une relation étroite entre les mathématiques de l'école et les nécessités de la vie. Des problèmes de la vie courante sont des problèmes vraisemblables dont l'élève a vu ou verra des exemples autour de lui… " (commentaire des programmes du cours moyen, 1956).

Les exigences en calcul mental étaient sensiblement différentes de celle que l'on a actuellement comme en témoigne ce problème extrait du Certificat d'Etudes du Lot-et-Garonne du début du siècle : (L'élève voit l'énoncé écrit mais n'a pas le droit d'écrire).

" Un négociant a acheté 15 hectolitres de vin à 6f10 le litre et 150 litres d'eau de vie à 12f50 le litre. Combien doit-il payer? "

En 1970, avec l'introduction des "mathématiques modernes" et l'allongement de la durée des études, cette vision du calcul mental est entièrement remise en cause, et les objectifs deviennent tout autres. Il s'agit, à présent, de donner du sens aux opérations et de faire ressortir leurs propriétés. Le calcul rapide disparaît au profit du calcul réfléchi.

"Cette évolution, difficile à mettre en œuvre dans les classes, ainsi que l'apparition de moyens nouveaux et rapides de calcul comme les calculettes ont contribué au déclin des pratiques de calcul mental. Les exercices ont pendant assez longtemps disparu des livres des élèves et des guides pédagogiques destinés aux enseignants. On observe aujourd'hui un retour à l'enseignement du calcul mental et même aux pratiques d'avant la réforme de 1970." [LET]

 

2. Un bouleversement dans l'enseignement du calcul mental : la calculatrice

 

Au début des années 70, plus encore que la réforme des mathématiques modernes, c'est l'apparition des calculatrices qui va influencer considérablement la pratique du calcul mental. Face à ce phénomène, les enseignants peuvent adopter deux points de vue que fait apparaître François DUSSON (dans une intervention au comité de l’A.P.M.E.P. du 03/02/96) :

"Les machines débarrassent les études de calculs techniques fastidieux, permettent de favoriser l'appropriation d'un concept par la rapidité de variations d'exemples, rendent les mathématiques plus attrayantes." Ou, à l'inverse :

"La gestion mentale des idées demande à se développer par des exemples à la main. La machine gâche l'investissement intellectuel, s'oppose à une mémorisation nécessaire de certaines bases."

Certains enseignants ont donc des doutes sur la pertinence de l'apprentissage du calcul mental. Les élèves, quant à eux, sont indéniablement démotivés; pourquoi faire des efforts intellectuels alors que la calculatrice donne les résultats en quelques fractions de secondes ?

Ainsi, pour les professeurs qui pensent que le calcul mental a toujours son utilité, il est probablement plus difficile de l'enseigner à l'heure actuelle qu'il y a quarante ans. Aujourd'hui, il faut convaincre les élèves que pour certains calculs, l'outil humain est plus fiable et plus rapide que la machine.

 

2. Analyse du questionnaire aux professeurs

 

Pour entamer notre réflexion sur l’enseignement du calcul mental tel qu’il est dispensé à l’heure actuelle, une de nos premières idées a été de soumettre à nos collègues un questionnaire [Annexe 1]. A travers celui-ci, ils s’expriment sur leur relation en tant qu’enseignant avec le calcul mental.

Le questionnaire à été diffusé sur papier dans une dizaine d’établissements, et par voie électronique sur des listes de diffusions et des groupes de news. Vingt-six questionnaires sur papier nous sont revenus, et quarante et un via Internet.

Nous avons choisi de traiter séparément les questionnaires selon leur format de retour. En effet, nous supposons que les enseignants répondant par Internet sont ceux qui étaient interpellés par le titre de notre message et donc qui étaient à priori intéressés par le calcul mental. Ainsi, une étude statistique de ces réponses nous semble inadéquate.

 

1. Les réponses sur papier

Sur les 24 collègues qui ont répondu à la question sur les lacunes des élèves en calcul mental, 21 (88%) se sont déclarés gênés par celles-ci.

Pour la plupart des professeurs de collège, les lacunes viennent en premier lieu de la méconnaissance des tables de multiplication. Ceux de lycée regrettent surtout de voir les élèves sortir leur calculatrice pour des calculs extrêmement simples du genre "3 ´ 6", "5 ´ 80", "0 ¸ 6", "49 ¸ 0,1" ou "2 ¸ 1". Ce genre d'attitude est apparemment rencontré jusqu'en terminale.

Sur les 17 professeurs en collège ayant répondu, 2 affirment ne pas faire de calcul mental en cours (soit 12%). Cette proportion est surprenante dans la mesure où le calcul mental apparaît clairement dans les programmes. Sur les 15 qui en font :

- 10 ( 67%) pratiquent l’entraînement collégial à l’oral.

- 4 ( 27%) font des petits contrôles rapides en début ou en fin d’heure.

- 4 ( 27%) rappellent les méthodes à l’occasion des exercices.

- 1 ( 7%) fait des cours de calcul mental, notés sur le cahier.

En collège, 2 professeurs sur 17 (soit 12%) autorisent systématiquement la calculatrice en devoir, contre 7 sur 9 (78%) en lycée.

En général, au collège, la calculatrice n'est pas autorisée quand il s'agit de tester l'acquisition de certaines techniques de calcul.

19 collègues sur 23 (soit 83%) estiment que le calcul mental doit conserver sa place dans les programmes du collège :

- Parce qu'il est utile dans la vie quotidienne et professionnelle (16%)

- Il oblige les élèves à un effort de réflexion, une gymnastique intellectuelle (26%)

- Il permet de vérifier la cohérence des résultats, de manipuler les ordres de grandeur (32%)

- Il permet d'être capable de mieux utiliser la calculatrice (16%).

- Il permet de mieux comprendre les règles de calcul (16%), de les mettre en pratique (5%)

- Grâce à lui, on gagne du temps dans les calculs (16%).

- Il est omniprésent en maths et en sciences (10%).

- La compétence en calcul mental permet de prendre du recul face aux problèmes (11%).

Certains pensent même qu'il doit retrouver une place plus importante que celle qu'il occupe depuis quelques années.

Sur les 4 collègues estimant que le calcul mental n'a plus sa place au collège, 3 ont donné leurs arguments: l'un d'eux pense que les calculatrices peuvent le remplacer, un autre que ce n'est pas une priorité dans l'enseignement actuel des mathématiques, le dernier que c'est en primaire que l'acquisition doit être faite.

Pour notre part, nous estimons que :

• le but du calcul mental n'est pas uniquement la production de résultats, donc il ne peut pas être entièrement remplacé par la calculatrice.
• les compétences en calcul mental ne peuvent s'obtenir que par un travail dans la durée, et donc sa pratique doit se poursuivre au collège, en particulier pour la structure multiplicative des entiers et décimaux.

 

2. Les réponses via Internet

Conformément à notre hypothèse, le nombre de professeurs de collège ne pratiquant pas le calcul mental est ici de 7,4% (contre 11,8% sur papier); à l'inverse, ceux qui considèrent que le calcul mental doit conserver sa place dans les programmes représentent 97,5% (contre 82,6% sur papier).

Les personnes ayant répondu par Internet sont donc des enseignants qui accordent un intérêt particulier au calcul mental; il nous semble intéressant de nous arrêter sur la façon dont ils procèdent.

Sur les 31 collègues enseignant le calcul mental en classe,

- 7 ( 22,6%) pratiquent l'entraînement collégial à l'oral.

- 8 ( 25,8%) font des petits contrôles rapides.

- 9 ( 29,0%) rappellent les méthodes à l'occasion des exercices.

- 2 ( 6,5%) font des cours, notés sur le cahier.

- 4 ( 12,9%) font faire des exercices.

- 4 ( 12,9%) des tests rétroprojetés issus du site (http://le-village.ifrance.com/casemath/)

- 5 ( 16,1%) utilisent des jeux ou des didacticiels informatiques.

Mis à part l'entraînement à l'oral, les procédés apparus dans le dépouillement de la version papier sont présents dans les mêmes proportions chez les internautes, mais ceux-ci nous soumettent d'autres idées de pratiques.

Nous reviendrons sur ces différentes manières d'enseignement du calcul mental ultérieurement (cf  § 2.6)

 

3. Analyse du questionnaire aux élèves 

Après avoir étudié les programmes et questionné nos collègues de mathématiques, il nous manquait le point de vue des élèves. Nous l’avons recueilli à travers un questionnaire principalement orienté vers la confrontation calculatrice / calcul mental [Annexe 2] .

Nous traitons ici les données en confondant les deux classes sondées, une classe de 6^e et une classe de 4^e.

D’une façon générale, même si dans la vie courante ils avouent utiliser principalement le calcul mental, les élèves encensent l’usage de la calculatrice dans le cadre scolaire. En effet, ils semblent avoir une confiance aveugle en la machine, mais une confiance bien limitée dans leurs capacités d’humains.

Face à ces dernières, il est vrai que les calculatrices permettent de traiter toute sorte de calculs, même les plus longs et les plus fastidieux. De plus près de 35 % des collégiens interrogés opposent la supposée infaillibilité de la technologie aux erreurs commises par le cerveau de l’homme. C’est oublier que ce dernier ordonne à l’autre.

En 4^e, 23 élèves sur 26 affirment savoir utiliser leur calculatrice pour les opérations usuelles. Sur le questionnaire, ils doivent en faire usage pour effectuer les calculs suivants :

, , .

 

C’est ici que le bas blesse : seulement 52 % de bonnes réponses ont été relevées. Nous ne manqueront pas de le leur rappeler. La calculatrice est un outil fiable à condition que l’on connaisse la manière dont elle fonctionne, par exemple la façon dont elle traduit les opérations et leur propriétés, comme les ordres de priorités. Sa bonne utilisation passe donc nécessairement par une bonne appréhension personnelle de ces diverses considérations mathématiques.

Les élèves sont en revanche très partagés sur le point suivant. Si 20 % d’entre eux voient comme un avantage le fait qu’une calculatrice annihile toute réflexion (ce qui est d’ailleurs faux si l’on veut en faire bon usage), 15 % le perçoivent comme un inconvénient. Mieux, la moitié des collégiens sondés estiment que le calcul mental est un bon entraînement intellectuel.

La rapidité d’exécution procurée par la machine rallie toutes les opinions. Par contre, celle inhérente au calcul mental ne fait plus l’unanimité. Certains élèves remarquent très justement que tout dépend du type de calcul à effectuer.

Voici maintenant quatre chiffres très éloquents. Sur les 53 personnes interrogées, 29 n’ont pas cités d’avantages au calcul mental, contre 9 seulement au calcul machine. Parallèlement, 23 n’ont pas trouvé d’inconvénients au calcul mental, face à 34 pour le calcul machine…

Ainsi, ce questionnaire nous a permis de mettre le doigt sur divers points essentiels. Tout d’abord, un nombre considérable d’élèves placent leur calculatrice sur un piédestal. Sans fournir d’effort, elle est supposée leur fournir le résultat juste, très rapidement, sauf erreur de frappe… Encore faut-il lui fournir les bonnes instructions! Ils l’assimilent à un calculateur raisonné, alors qu’elle n’est qu’une simple exécutante… D’autre part, certains élèves reconnaissent que le calcul mental est une bonne gymnastique intellectuelle, où l’on réinvestit des savoirs ( les tables de multiplications par exemple ), et qui constitue un outil qui peut être efficace dans la vie courante.

Les élèves opposent donc l’efficacité et l’infaillibilité de la calculatrice au caractère cérébral et pratique du calcul mental. Dans un système où le résultat prime sur le cheminement, quel outil choisiriez vous ?

 

4. Calcul mental et mémoire

Une grande partie des personnes que nous avons interrogées, aussi bien les professeurs que les élèves, nous ont signalé que pour eux, le calcul mental est bénéfique en tant qu'entraînement intellectuel.

Pour certains, il habituerait à faire des efforts de réflexion, ce qui permettrait de lutter contre la paresse intellectuelle, d'autres emploient l'expression de "gymnastique intellectuelle".

Nous nous sommes demandé en quoi le calcul mental pouvait être comparé à un entraînement sportif et nous avons trouvé ce qui nous semble être des éléments de réponse dans un article de "Science & Vie".

Cet article expose les découvertes les plus récentes concernant la mémoire humaine.

" La mémoire serait constituée de plusieurs systèmes et sous-systèmes indépendants en interaction […] "

Il y aurait, selon cette théorie, cinq systèmes principaux, à savoir :

• La mémoire épisodique, siège des souvenirs personnels.
• La représentation perceptive, instrument de reconnaissance des formes et des structures.
• La mémoire sémantique, renfermant nos connaissances générales sur le monde.
• La mémoire procédurale, qui nous permettrait de disposer d'automatismes divers tels que le geste du remueur de bouteilles champenois, la lecture dans un miroir ou… des opérations simple de calcul mental.
• Enfin, la mémoire de travail, mémoire à court terme dans laquelle nous stockerions des informations d'une utilité éphémère.

Si l'on adopte ce point de vue, que les expérimentations pathologiques semblent confirmer, il serait donc illusoire de penser que la mémoire puisse s'entraîner comme un muscle. Apprendre des poésies ou du vocabulaire serait sans effet sur la mémoire de travail; des jeux de mémoire sur vidéo n'aideraient en rien à améliorer sa mémoire sémantique.

Or, la mémoire sémantique est probablement le système de mémoire le plus sollicité, et donc le plus entraîné, par notre système scolaire à travers l'apprentissage des leçons. Beaucoup moins sollicitée à l'école, la mémoire de travail est pourtant très utile aussi bien dans la vie courante que dans la vie professionnelle. S'il est désagréable d'entrer dans une pièce en ayant oublié ce que l'on venait y chercher, il est encore plus gênant d'oublier le nom de la personne qui vient de téléphoner et que son collègue doit rappeler d'urgence. Et quelle est l'activité scolaire qui semble à priori faire le plus appel à la mémoire de travail ? Le calcul mental.

Le calcul mental serait-il donc l’exercice le plus utile pour l’entretien de sa mémoire de travail ? Rien n’est moins sûr.

D’une part, il semble que, dans certains cas, nous utilisions notre mémoire de travail pour stocker des connaissances dans notre mémoire sémantique : " Des études ont montré que l’acquisition du vocabulaire chez l’enfant dépendait largement de sa mémoire à court terme. " Celle-ci serait donc largement sollicitée par les élèves, dans toutes les matières.

D’autre part, la mémoire serait fragmentée à l’extrême. Pour Martial VAN DER LINDEN, directeur scientifique du centre de revalidation neuropsychologique du C.H.U. de Liège : " apprendre des poèmes par cœur ne vous procurera pas d’autre bénéfice qu’une amélioration de votre " mémoire des poèmes ". Toutes les études récentes le montrent en effet, quand un programme articulé autour d’exercices mnésiques répétés conduit à des progrès, ceux-ci portent uniquement sur le matériel (Liste de mots, puzzles…) qui a fait l’objet de l’apprentissage. "

De là à en conclure que la seule utilité du calcul mental serait la mémoire des nombres, objectif un peu faible pour justifier une pratique régulière, il n’y a qu’un pas.

Cependant, le travail de Denis BUTLEN et Monique PEZARD montre qu’une pratique du calcul mental permet dans certaines conditions de faire évoluer les procédures de calcul et d’enrichir ainsi les conceptions numériques des élèves. [BUT]

Nous allons dans ce qui suit tenter de comprendre à quoi est dû cet enrichissement.

 

5. Les finalités du calcul mental 
1. Améliorer l’attention, la concentration et développer la mémoire

Le calcul mental permet de développer plusieurs facettes de nos capacités intellectuelles. Sur le schéma suivant, on représente ce que peut être le traitement mental d’un calcul, en soulignant les interventions de la mémoire qui se multiplient à travers les étapes. Il apparaît alors que sans y associer un effort considérable pour soutenir l’attention et la concentration, les chances d’aboutir à un résultat juste semblent compromises.

 

Donnée orale du calcul : 59´8
	- mémoriser l’opération (+, –, ´ , ou : ) - mémoriser les deux facteurs (59, 8 ) - décomposer 8 en 10–2
59´ (10–2)
	- mémoriser la décomposition soustractive de 8 en 10–2 - effectuer une distribution
59´ 10–59´2
	- mémoriser les deux multiplications et la soustraction à effectuer - effectuer 59´10 , mémoriser le résultat - effectuer 59´2 , mémoriser le résultat
59´ 10 =590 , 59´ 2 =118
	- réintégrer les deux produits dans la soustraction
590–118
	- effectuer la soustraction
472

Si une erreur intervient au cours du calcul, il faudra de plus être capable de rebrousser chemin, parfois dans le traitement mathématique, d’autres fois dans l’arbre la mémoire…

 

2. Enrichir les conceptions numériques

 

Les mathématiques sont un langage. Comme n’importe quelle autre langue, on peut les poser sur le papier en utilisant une grammaire qui leur est propre, avec des règles strictes, des mots et des symboles, chacun étant chargé d’un sens bien précis. Un des objectifs à privilégier lors de l’apprentissage des mathématiques réside ainsi dans la maîtrise des écritures et du sens profond de chaque mot et chaque symbole utilisé.

Considérons par exemple les quatre écritures 4+8, 37–25, 4´ 3, et 36¸ 3. Un nombre considérable d’élèves les perçoivent avant tout comme autant d’opérations en attente d’être effectuées, plutôt que de les ressentir comme quatre autres écritures du même nombre 12. De même, le signe = est parfois perçu par les élèves comme une simple ponctuation indiquant un changement d’étape à l’intérieur d’un calcul, alors que l’égalité exprime précisément que deux écritures désignent un seul et même nombre : 4+8 = 37–25 = 4´ 3 = 36¸ 3 = 12.

Relevés dans la première évaluation en 4^e (cf. §3.3), voici des exemples illustrant cette dernière remarque :

calcul de 50´19 : calcul de 24´19 : calcul de 12´99 : calcul de 30´11 :

Dans le cas particulier des multiplications, le calcul mental permet d’exploiter les différentes écritures d’un nombre. Pour passer d’un énoncé de calcul au résultat final, l’élève a la possibilité d’utiliser des décompositions multiplicatives, additives et soustractives, voire des écritures fractionnaires d’un même nombre. Ce travail constitue en calcul mental l’essence même des différentes techniques. C’est véritablement l’outil indispensable qui va permettre à l’élève de transformer un calcul donné en une suite de calculs plus simples, donc plus facilement exécutables mentalement.

Par ailleurs, l’élève va nécessairement utiliser, de façon intuitive ou raisonnée, l’associativité, la commutativité, et la distributivité. En cela, le calcul mental est donc également formateur quant aux propriétés opératoires.

Exemples :

36´ 25=6´ 6´ 5´ 5 =6´ 5´ 6´ 5=(6´ 5)´ (6´ 5)=30´ 30=900

décomposition multiplicative  /  commutativité  /  associativité

=36´ (20+5)=36´ 20+36´ 5=36´ 2´ 10+36´ 5=720+36´ =720+180=900

décomposition additive  /  distributivité  /  décomposition multiplicative  /  écriture fractionnaire

=36´ =900

écriture fractionnaire

Le calcul mental trouve encore une autre utilité lorsque l’enseignant souhaite transmettre à ses élèves le sens des opérations. Comme chacun sait, ce point des mathématiques de collège est à la fois essentiel et très délicat à transmettre. Pour maîtriser ce sens, on effectue en classe de nombreux problèmes, qui sont autant d’occasions pour traduire et traiter mathématiquement certains aspects de la vie quotidienne. Mais résoudre un problème par écrit multiplie les difficultés : elles sont d’ordres littéraires et mathématiques : il faut lire l’énoncer, le comprendre, rédiger une réponse, parfois effectuer des calculs fastidieux… Plaçons nous alors dans la démarche suivante : l’enseignant donne de nombreux problèmes, mais cette fois ci à l’oral, avec des énoncés courts, et des nombres simples. L’élève se trouve ainsi déchargé de nombreux obstacles à franchir. Ceux de la lecture, de la rédaction, et de la technique calculatoire. Noyée jusqu’à présent dans la multiplicité des difficultés, seule demeure la traduction de l’énoncé, autrement dit le travail sur le sens des opérations, suivi d’un calcul qui se fait de tête. De cette façon, chaque problème traité de manière orale s’effectue assez rapidement. Ce gain de temps peut être réinvesti pour multiplier et diversifier les situations étudiées tout en focalisant les efforts des élèves sur le sens des opérations.

Ainsi, la pratique du calcul mental développe la connaissance du nombre, des propriétés opératoires, et le sens des opérations. En un mot, il enrichit les conceptions numériques des élèves.

 

3. Développer l’esprit critique

 

Le calcul mental et ses techniques étant maîtrisés, cet outil va permettre d’établir très aisément l’ordre de grandeur d’un calcul donné. Ainsi, l’élève peut contrôler par lui même la plausibilité d’un résultat qui aurait été trouvé à la main ou encore fourni par la calculatrice. De ce point de vue, le calcul mental développe une attitude de réflexion qui conduit à la vérification du travail effectué.

 

4. Aspect ludique

 

La pratique du calcul mental est un terrain privilégié pour effectuer des séances sous une approche ludique. De plus, cette gymnastique intellectuelle est très fructueuse : à l’entraînement et aux efforts répondent rapidement des progrès. Le calcul mental apparaît alors comme une activité qui peut permettre à un élève en difficulté de prendre plaisir à faire des mathématiques, peut être même de progresser, voire de reprendre confiance en lui.

 

Comme on vient de le voir, les bénéfices que l’on peut tirer de la pratique du calcul mental sont multiples. C’est un domaine des mathématiques élémentaires très fertile puisque peuvent s’y développer la mémoire, la concentration, l’esprit critique, ainsi que les conceptions numérique. Il peut même être acteur d’une réinsertion mathématique.

 

6. Les différentes méthodes d'enseignement du calcul mental
1. L'entraînement à l'oral

 

C'est la méthode la plus couramment employée par les enseignants que nous avons interrogé.

Le principe est très simple : l'enseignant propose un calcul qu'il donne à l'oral ou qu'il écrit au tableau. Les élèves lèvent le doigt lorsqu'ils ont un résultat.

Ce procédé présente de nombreux avantages :

• Il soulève en général une réelle émulation dans la classe, notamment chez les élèves jeunes.
• Il peut permettre la confrontation des méthodes de calcul, dégageant ainsi les plus appropriées. Cela permet d'apprendre aux élèves à expliciter leur manière de calculer.
• Il permet à l'enseignant de déceler les erreurs et de les corriger en classe.

 

2. Les contrôles rapides

 

Cette méthode est également très utilisée et très simple.

En début ou en fin d'heure, l'enseignant propose une dizaine de calculs à l'oral ou au tableau. Il donne un délai court de réflexion aux élèves entre chaque calcul.

Ce système présente les avantages suivants :

• Il permet à l'enseignant d'évaluer individuellement le niveau des élèves en calcul mental.
• Il oblige les élèves à faire l'effort d'effectuer les calculs en un temps limité, ce que ne permettait pas l'entraînement à l'oral.

Ce système est néanmoins assez peu adapté aux classes hétérogènes. Il n'est pas rare que le temps imparti soit bien trop court pour les élèves en difficultés, mais trop long pour les bons élèves, provoquant leur ennui.

 

 

3. Le rappel des techniques à l'occasion des exercices

Sans être à proprement parler une méthode d'enseignement, cette attitude a un effet très bénéfique dans le sens ou elle prodigue un entraînement régulier. De plus, l'enseignant montre implicitement à ses chères têtes blondes les cas où l'usage de la calculatrice est requis et ceux où il est inutile.

 

4. Les cours, notés sur le cahier

Il est, à notre avis, illusoire de penser qu'il suffit de pratiquer le calcul mental pour que des progrès sensibles apparaissent. Tout comme à l'école élémentaire, "il nécessite une progression structurée dont les étapes sont définies par des objectifs clairs et se traduisent par des objectifs gradués en difficulté" [LET] .

Les cours permettent de faire comprendre les différentes techniques et d'inciter à leur mémorisation.

 

5. Les exercices de calcul mental

Les manuels scolaires proposent des exercices dont la consigne est d'effectuer mentalement certaines opérations.

Faits en classes, ces exercices présentent à peu près les mêmes avantages que l'entraînement à l'oral avec peut-être en plus la possibilité pour l'élève d'aller à son rythme. En devoir à la maison, ce dernier avantage est accentué. L'élève a la possibilité de réfléchir tranquillement aux procédures de calcul mental.

Malheureusement, rien ne prouve que l'élève respectera la consigne. Il pourra avoir recours à l'écrit.

 

6. Les fiches de la Casemath

Un exemple de fiche est disponible dans l'annexe 4.

Elles présentent l'avantage d'être structurée par thèmes. Pour les utiliser, on peut par exemple faire la première série, puis présenter la méthode pour enchaîner enfin sur la deuxième série. En comparant les résultats des deux séries, cela permet de valider (ou pas) la méthode de calcul.

 

7. Les didacticiels

Aujourd'hui, il est facile de trouver sur Internet des logiciels (gratuits pour la plupart) qui proposent des exercices de calcul mental.

Prendre la direction de la salle informatique est toujours bien vu des élèves. Motivés par ce cadre plus attrayant, ils peuvent de plus travailler à leur rythme, et être corrigés pour chaque calcul. Beaucoup de didacticiels proposent des exercices chronométrés, mettant l'élève dans une situation de défi qui est profitable à l'entraînement. Autre facteur motivant : les tableaux de meilleurs scores.

Bien entendu, il faut disposer d'une salle informatique qui peut accueillir sa classe.

 

8. Les jeux du calcul mental

 

Si d’après Einstein " Le jeu est la forme la plus élevée de la recherche. ", c’est aussi sans aucun doute un des facteurs les plus efficaces pour motiver les élèves.

Avec l’aide de l’A.P.M.E.P. (Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public), nous allons maintenant présenter des jeux qui, en classe entière, permettent de travailler le calcul mental [APM].

 

1. Le Pythagore

    

   Au rétroprojecteur, l’enseignant montre aux élèves le plateau de jeu suivant :

   

    

   Principe :

    

   On distribue aux élèves des pions au hasard, chacun d’eux portant le résultat d’une des multiplications présentes sur le plateau de jeu. L’enseignant commence par en placer trois sur la grille, puis les élèves doivent essayer de placer leurs pions sur une case adjacente à une case déjà occupée (mais le compte doit être bon). Le gagnant est celui qui, le premier, a placé tous ses pions.

    

   Intérêts :

   • Travail mental des tables et des multiplications jusque 15´ 15.
   • Travail d’observation

    

2. Le trio

 

Principe :

A l’aide d’un rétroprojecteur, l’enseignant montre à toute la classe un tableau 7´ 7 contenant 49 chiffres de 1 à 9. L’enseignant donne alors un nombre entre 0 et 50. En utilisant trois chiffres dans le tableau, les élèves doivent tenter de réaliser ce nombre en respectant les règles suivantes :

• Les trois chiffres doivent être voisins, alignés horizontalement, verticalement ou en diagonale.
• Deux de ces trois chiffres doivent être multipliés, le troisième ajouté ou soustrait.

Le joueur ayant trouvé le premier une combinaison possible gagne le point. Le vainqueur est celui qui a obtenu le plus de points.

Voici un exemple de tableau, et trois possibilités d’obtenir le nombre 25 :



Intérêts :

• Développe l’observation, l’imagination, et la présence d’esprit.
• Développe les compétences en calcul mental.

 

3. Le Compte est Bon^® et le Loto

 

Ces deux classiques, connus de tous ont été expérimentés dans nos classes. Nous en rappelons les principes dans la partie expérimentation.

 

Pour de plus amples détails sur ces jeux et bien d’autres, leurs différentes variantes, leur mise en place et leur réalisation à moindre frais, on pourra se référer aux diverses brochures JEUX éditées par l’A.P.M.E.P.

 

 

3. Les expérimentations

 

1. Présentation des classes

Les différentes activités se sont déroulées dans deux classes de collèges de la région champenoise, étalées sur le mois de Mars 2000.

1. Classe de 6^e de Noël

C’est une classe du Collège Henri Guillaumet de Mourmelon-Le-Grand. Cette classe très hétérogène et d’un niveau global faible, comporte 27 élèves, que nous avons classés en cinq niveaux , de A (excellent) à E (en très grande difficulté). Leur professeur les juge de la façon suivante :

• A : 4 élèves
• B : 6 élèves
• C : 8 élèves
• D : 4 élèves
• E : 5 élèves

2. Classe de 4^e de Rémy

Cette classe du Collège Jean Moulin de Saint-Memmie comporte 28 élèves. Même si son niveau est satisfaisant, elle est très hétérogène. L’enseignant répartit les élèves ainsi :

• A : 2 élèves
• B : 12 élèves
• C : 5 élèves
• D : 5 élèves
• E : 4 élèves

Ajoutons simplement que certains élèves sont absents lors de certaines expérimentations, la population testée varie ainsi entre 24 et 28 collégiens.

 

2. Présentation du scénario

Nos expérimentations se déroulent parallèlement dans les classes de 6^e et 4^e, avec cependant des nuances assez marquées. Celles-ci découlent de deux réalités. En premier lieu, à chacun de ces niveaux correspondent des connaissances et des aptitudes mathématiques bien distinctes. Ensuite, si on peut se permettre dans les programmes de 6^e de prendre le temps de faire du calcul mental, c’est moins le cas dans ceux de 4^e.

Voici la trame commune du scénario dans nos deux classes. Nous commencerons par une évaluation qui nous permettra de juger des compétences préalables de nos élèves. Dans un deuxième temps, nous expliciterons les différentes procédures de calcul mental. A travers le calcul rapide et les jeux, nous viserons ensuite l’acquisition des savoir-faire. Nous terminerons enfin par une seconde évaluation pour mesurer le fruit du travail effectué.

3. L' évaluation initiale

Le premier test que l'on a soumis à nos élèves [Annexe 5] a pour but d’évaluer le niveau, les techniques, et la confiance des élèves en calcul mental.

Il comporte dix multiplications. Les cinq premières sont énoncées à l’oral par le professeur : 15´ 21, 30´ 11, 24´ 9, 25´ 31, 18´ 14. Les cinq dernières sont quant à elles écrites sur la fiche réponse distribuée aux élèves : 50´ 19, 59´ 8, 12´ 99, 36´ 25, 12´ 16.

Toutes les étapes de calcul devant être faites mentalement, les élèves ont pour consigne de n’écrire rien d’autre que les produits. Par ailleurs, ils doivent pour chaque multiplication indiquer s’ils sont certains ou pas de l’exactitude de leur réponse. Notons que l’on a veillé à laisser suffisamment de temps aux élèves pour répondre, juste assez pour leur imposer une certaine rapidité d’exécution sans nous priver des travaux des plus lents. Enfin, pour chaque calcul, les élèves ont dû expliciter par écrit leur façon de procéder de tête pour arriver au résultat.

A partir de ces données, nous avons étudié de manière indépendante et croisée la justesse des réponses, les techniques utilisées, et la confiance des élèves en leur capacité à calculer mentalement.

Pour ce dernier point, nous avons calculé pour chaque élève ce que nous appellerons "indice de confiance". Pour chaque multiplication, l'élève se voit attribuer +1 s'il pense que son résultat est juste et que ce n'est pas le cas (il a alors trop confiance en lui), -1 s’il émet des réserve sur son résultat qui est cependant exact (ce qui traduit un certain manque de confiance), et 0 s'il ne s'est pas trompé sur la validité de son résultat. Nous effectuons ensuite la somme sur l’ensemble des calculs et obtenons ainsi l’indice de confiance de l’élève.

 

1. Les résultats du test en 4^e

 

Sur les deux cent soixante-cinq résultats relevés, seulement cent trente-neuf se sont avérés justes. Il apparaît ainsi que les élèves ont des lacunes en calcul mental, en particulier pour la multiplication.

La technique la plus utilisée lors de ce test est de loin la distributivité. Elle est choisie dans la moitié des cas pour effectuer les produits, avec à l’issue 69 % de bonnes réponses. Arrive ensuite la méthode consistant à poser mentalement l’opération. Utilisée pour réaliser le quart des calculs, le taux de réussite généré par cette technique chute à 37 %. Elle se révèle donc bien moins rentable que la distributivité.

Ce premier point de l’analyse des réponses souligne d’une part la tendance naturelle que peuvent avoir les élèves à choisir pour calculer de tête la même procédure que celle utilisée pour calculer à la main, d’autre part le besoin de combattre ce réflexe pour privilégier d’autres techniques, mentalement mieux adaptées, plus simples et plus efficaces.

Les multiplications par 25 et par 50 (trois calculs de ce type dans l’évaluation) se font très facilement de tête en effectuant une multiplication par 100 suivie d’une ou deux divisions par 2. Or, sur l’ensemble de ces trois calculs, cette technique n’est utilisée que dans un dixième des cas, générant 72 % de bons résultats. Sachant que toutes méthodes confondues il y a une majorité de réponses fausses, il faudrait orienter l’ensemble des élèves sur ce procédé. De même, pour les deux multiplications 16´ 12 et 18´ 14, la méthode de décomposition en facteurs à un chiffre est simple et efficace. Cependant, aucun élève ne l’a employée, ce qui peut expliquer le peu de résultats justes pour ces deux calculs, seulement 36 %.

A ce stade, on devine que les élèves ne connaissent pas ou ne maîtrisent pas suffisamment les techniques de calcul mental. De plus, pour être plus performants, ils doivent apprendre à choisir dans l’éventail des techniques à leur disposition, celle qui est la mieux adaptée au calcul donné. Il faut ainsi motiver la recherche de la simplicité, de la rapidité et de l’efficacité.

Enfin, notre indice de confiance est négatif pour douze élèves sur vingt-sept, ce qui peut traduire un manque de confiance en leurs ressources et outils en calcul mental, plus marqué lorsque les multiplications sont données à l’oral.

Toutes ces constatations soulignent plusieurs aspects du calcul mental en classe de 4^e. Premièrement, les élèves ne le maîtrisent pas. Ceci trouve principalement deux explications. A l’évidence, ils ne connaissent pas suffisamment les différentes techniques, et ne savent pas non plus les choisir pertinemment. Enfin, ils semblent manquer de confiance en l’outil humain.

 

2. Les résultats du test en 6^e

   Sur 270 réponses, 78 étaient justes, soit 28,8%. Il apparaît ainsi que la multiplication mentale de deux nombres à deux chiffres n'a pas été acquise en primaire.

   Les fiches d'explicitation des méthodes nous ont permis de confirmer que les élèves de 6^e connaissent très peu de procédures de calcul mental : les seules qui sont apparues sont celle qui consiste a appliquer mentalement l'algorithme écrit (12 élèves), et l'utilisation implicite de la distributivité (6 élèves). Notre premier objectif en 6^e sera donc de diversifier les techniques et d'apprendre aux élèves à choisir, selon les cas, celle qui sera la plus appropriée.

   En ce qui concerne la question "Es tu sûr de ta réponse ?", la case "Oui" a été cochée 78 fois pour les calculs donnés à l'écrit, contre 57 à l'oral. Ceci montre que les élèves ont plus confiance en eux lorsqu'ils ont l'énoncé sous les yeux. Il convient d'en tenir compte lors de l'apprentissage, pour entretenir cette confiance.

   Enfin, lorsqu'ils ont bon, les élèves ne sont pas sûrs d'eux dans 28% des cas, et lorsqu'ils ont faux, ils sont sûrs d'eux dans 41% des cas. Nous trouvons ces deux pourcentages élevés, c'est pourquoi notre deuxième objectif sera de leur donner les moyens de vérifier leurs calculs.

 

4. Enseignement des procédures
   1. La correction de l’évaluation en 4e 

   Cette séance à été filmée.

   1. Objectifs

      Les objectifs préalablement définis sont les suivants. Nous souhaitons d’abord retravailler les conceptions numériques et opératoires des élèves . En effet, les évaluations ont montrées qu’ils étaient plusieurs a ne pas avoir assimiler certains points fondamentaux. Voici quelques extraits représentatifs des erreurs rencontrées :

      Calcul de 24´9 et de 12´16 :

      

      Ensuite, à travers cette correction, nous espérons enrichir et diversifier les procédures mentales des élèves, en les laissant cependant libre d’utiliser celles qui leur semblent les mieux appropriées. Ils auront un rôle très actif a jouer. Acteurs de leur savoir, ils devront collectivement faire ressortir d’eux même les différentes procédures. Le professeur, riche de l’analyse des évaluations initiales, pourra leur indiquer les méthodes les plus utilisées, et celles qui ont été les plus efficaces pour un calcul donné [Annexe 10]. Peu à peu, l’élève doit percevoir le lien entre le choix de la méthode et la performance de l’exécution.

      Cette séance constitue en 4^e la seule phase quelque peu institutionnalisée de l’expérimentation.

       

   2. Déroulement

   Les élèves vont mentalement effectuer les calculs posés lors de l’évaluation. Lors de la mise en commun des différentes procédures, celles ci seront écrites au tableau, éventuellement discutées, puis recopiées par les collégiens.

   • 15 ´ 21 =

   Jean-Philippe, le premier élève interrogé, donne 1 050 comme produit. Il explicite sa méthode, elle est erronée, se situant entre distributivité et décomposition multiplicative. Il a effectué 5´ 21´ 10. Julie propose alors 301 pour résultat. Elle a pratiqué une distributivité incomplète, 15´ 20+1. Ces erreurs successives sont autant d’occasion d’en rappeler le fonctionnement. Enfin, Steeven applique cette méthode correctement :15´ 20+15´ 1=315. Romain a quant à lui utilisé une décomposition multiplicative, 21´ 5´ 3, avec succès.

   • 30 ´ 11 =

   Sur ce calcul, un des plus simples de ce test, les élèves répondent de façon quasi immédiate. Il ont fait majoritairement une distribution, 30´ 10+30´ 1=330. Sullivan lui a décomposé en 11´ 3´ 10.

   • 24 ´ 9 =

   La distributivité sort en premier, d’abord additive puis soustractive : 20´ 9+4´ 9=216, tout comme 24´ 10-24´ 1.

   Jean-Philippe propose alors de calculer 24´ 3´ 3. Même s’il a trouvé comme les autres 216, cette méthode ne semble pas la plus adaptée au calcul posé.

    

   • 25 ´ 31 =

   Une nouvelle fois, la majorité des élèves ont utilisé la distributivité. Encore faut-il l’appliquer correctement ! Lucie propose alors d’effectuer 31´ (100¸ 4). En s’appuyant sur l’analyse de l’évaluation, on valorise cette méthode, très efficace pour multiplier un nombre par 25, en dénigrant quelque peu la procédure qui consiste à appliquer l’algorithme écrit mentalement.

   • 18 ´ 14 =

   Toujours de la distributivité, mais aussi la décomposition en 3´ 6´ 7´ 2. Plus simple, le professeur indique que l’on pouvait effectuer 9´ 2´ 7´ 2=9´ 7´ 2´ 2.

   • 50 ´ 19 =

   Sur ce calcul, les trois principales procédures mentales sont mises en évidence. Dimitri propose d’exécuter 19´ (100¸ 2), Julien de distribuer en 50´ 20-50´ 1, et Pierre-Emmanuel décompose en 19´ 5´ 10.

   • 59 ´ 8, 12 ´ 99, 36 ´ 25, 12 ´ 16 =

   Pour les quatre dernières multiplications, les élèves fournissent collectivement les résultats, sans discussion des méthodes employées.

    

   Pour faire goûter aux élèves l’aspect ludique que l’on va développer lors des prochaines séances de calcul rapide, on relève à l’oral les scores réalisés.

   La séance s’achève par la récapitulation orale et collective des principales procédures de calcul mental.

    

   3. Bilan

      Le bilan de cette session est à notre sens positif. Les élèves ont été dans l’ensemble assez actif, et c’est par leurs nombreuses interventions que les différentes procédures attachées au calcul mental d’une multiplication ont été dégagées puis mises en commun. Ils ont donc initialement la matière nécessaire pour calculer juste.

      Un petit bémol cependant, ils n’ont pas semblé enclins à débattre sur les performances des diverses méthodes. Lors des épreuves de calcul rapide, ils seront bien obligés de s’investir dans cette réflexion..

   2. Les séances de cours en 6^e

       

      1. Introduction

         La plupart des procédures de calcul mental ne peuvent être découvertes par les élèves eux-mêmes si on ne les guide pas. Il n'est pas évident pour eux, en 6^e, que 25 est le quart de 100, et donc que pour multiplier par 25, on peut se ramener à une multiplication et une division simples.

         Il nous paraît donc judicieux, pour assurer l'acquisition complète et ensuite la disponibilité de ces procédures, de les faire apparaître dans le contexte d'activités et de cours construits, écrits dans les cahiers des élèves.

         Dans le domaine qui nous intéresse, la multiplication, nous avons choisi de consacrer cinq séances à ce type d'activité. Les sujets de ces séances sont les suivants :

         • Multiplication par 2, par 4, division par 5
         • Division par 2, par 4, multiplication par 5, par 50, par 25.
         • Décomposer en facteurs pour multiplier.
         • La distributivité.
         • Vérifier un résultat : ordre de grandeur, dernier chiffre, preuve par 9.

          

      2. Un exemple de séance de cours : Multiplication par 2, par 4, division par 5
      1. Déroulement

      Cette séance a été filmée.

      Pendant cinq à dix minutes, toute la classe s'entraîne à chercher le double d'entiers à un, deux ou trois chiffres. Le professeur donne l'entier à l'oral et les élèves lèvent le doigt dès qu'ils ont le résultat.

      Ensuite, les élèves sortent leur cahier de cours et notent cinq multiplications d'entiers par 4 qu'ils doivent effectuer. Pendant la correction, le professeur, après avoir fait dire aux élèves qu'ils trouvent que la multiplication par 2 est plus simple, leur montre qu'ils pouvaient s'y ramener. Cette règle est notée sur le cahier. Vient ensuite un exercice d'application (huit calculs) pendant lequel, le professeur circule dans la classe pour voir si la méthode est bien comprise.

      La deuxième partie, sur la division par 5, se déroule en suivant le même schéma.

       

      2. Bilan

          

         Dès le début de la séance, les élèves se montrent très motivés pour les calculs. L'entraînement à l'oral permet de prendre à partie leur esprit de compétition. De plus, l'exercice étant très simple, même les élèves les plus faibles se prennent au jeu.

         Ils semblent tous convaincus de l'utilité des procédures de calcul, dans la mesure où ils maîtrisent presque parfaitement la recherche du double d'un nombre. D'autres méthodes de calcul ne les convaincront pas autant. Ils nous montrent ainsi que pour leur faire assimiler une technique, il ne faut pas qu'il y ait d'étape qui leur pose des difficultés. Pour reprendre l'exemple de l'introduction, les élèves qui pour multiplier par 25, utiliseront la multiplication et la division par 4 sont ceux qui maîtrisent la division par 4, et qui savent parfaitement que 25 est le quart de 100. Il s'avère donc nécessaire, pour enseigner le calcul mental, de prévoir une progression de difficulté graduée.

         Sur les deux parties, celle qui a semblé la plus pertinente aux élèves est sans aucun doute celle concernant la division par 5. En effet, beaucoup d'entre eux semblent habitués à "poser une multiplication dans leur tête" et celle d'un nombre à deux chiffres par 4 ne leur pose apparemment pas de grandes difficultés. Par contre, la division par 5 leur semblait à priori quasiment impossible à faire de tête. Ceci nous conforte dans l'idée qu'il convient de mettre en défaut les anciennes méthodes des élèves pour pouvoir leur en faire acquérir de nouvelles.

5. Le calcul mental par le calcul rapide

   Suite à la diffusion du questionnaire professeur sur Internet, nous avons reçu un mail du groupe " math-collège " du C.E.P.E.C. (Centre d’Etude Pédagogique pour l’Expérimentation et le Conseil). Ils nous ont guidés vers la pratique de la " dextérité en calcul " par les élèves.

   Dans la revue Pratiques-Math n° 23, le CEPEC décrit ces épreuves de dextérité. La mise en place de leur dispositif étant évolutive, nous l’avons adapté à nos choix et nos objectifs.

   Nous soumettrons à nos élèves en un temps limité (10 min.) un grand nombre de multiplications à effectuer (une quarantaine) qui mobilisent de manière croisée diverses règles numériques et opératoires à maîtriser. Les contraintes grand nombre et temps limité sont les deux caractères essentiels du Calcul Rapide. Alliés l’un à l’autre, nous supposons qu’ils vont développer les facteurs suivants :

   • Ils maintiennent une situation de défi et d’enjeu. Une telle épreuve comporte donc intrinsèquement un aspect ludique, très motivant pour l’élève.
   • Ils imposent à l’élève d’adopter une pensée stratégique : pour réaliser autant de multiplications dans un délai si court, il va devoir choisir les procédures les mieux appropriées, les plus économiques.
   • A long terme, ils développent des automatismes réfléchis conduisant à l’utilisation en mode réflexe du schéma de calcul le plus pertinent.

   Les objectifs ainsi visés sont les suivants : sous l’aspect ludique du défi, nous souhaitons diversifier et enrichir les conceptions numériques de nos élèves, en leur inculquant une maîtrise stratégique des différentes procédures de calcul mental.

    

   1. Les séances de calcul rapide en 4^e 
      1. 1^er test

         Cette demi-séance n’est en fait qu’une présentation du calcul rapide. Les élèves ont dix calculs à effectuer mentalement en cinq minutes : 73´ 50, 19´ 44, 32´ 14, 41´ 17, 11´ 94, 85´ 35, 44´ 13, 75´ 56, 64´ 25, 57´ 9.

         Le taux de réussite est seulement de 24 %. Ainsi, le bilan de ce test est plutôt terne. D’une part, contrairement aux suivants, il ne comportait aucune multiplication triviale. D’autre part, l’élève doit s’adapter à ce nouveau type d’épreuve, et aux nouvelles tactiques qu’il doit mettre en œuvre.

         Mais le premier objectif est d’abord de les familiariser avec cette nouvelle forme d’exercice. Trop de multiplications à effectuer, pas assez de temps. Il faut choisir une stratégie et la développer. Les fiches réponses relevées, nous entamons, professeur et élèves, une rapide correction-réflexion. Quelles étaient les multiplications les plus simples ? quelles étaient sur ces calculs les procédures les plus performantes ? Dès lors, nous résolvons collectivement, et dans le temps imparti, les dix opérations.

         Intéressons nous enfin à l’enseignant. Lors de ce premier test, il est resté très neutre, presque effacé, pour laisser l’élève élaborer par lui même des stratégies. Lors des prochaines séances, son rôle prendra plus d’importance. Il sera l’animateur d’une course aux points contre la montre.

          

      2. Les trois tests de calcul rapide

         Nous avons décidé à partir de là d’étaler dans le temps trois épreuves de calcul rapide. L’ élève doit y traiter 38 multiplications en 10 minutes. Ainsi que le suggère les propositions du C.E.P.E.C., les trois tests poseront à chaque fois les mêmes opérations [Annexe 6].

         Cependant, nous y ajoutons notre griffe personnelle : dans le second test, les énoncés des calculs sont suivis d’une entame de calcul indiquant à l’élève une procédure proposée par l’enseignant [Annexe 7]. Par exemple, quand l’énoncé du premier est 96´ 15=…, celui du second est 96´ 15=96´ 10+96´ 5=…. Si toutes les pistes fournies sont justes, l’élève a la consigne de s’assurer que la méthode proposée par l’enseignant est juste, voire d’en utiliser une autre si elle ne lui convient pas. Dans tous les cas, l’élève n’est autorisé à écrire que le résultat final de son calcul. Le troisième test est quant à lui similaire au premier, mais précédé dans le temps par un exercice sur la vérification des résultat, traitant notamment des ordres de grandeur, et d’une session de jeux de calcul mental.

         Voici les informations que l’on a tiré des résultats :

         

         

          

      3. Bilan

       

      Le bilan de ces séances est globalement positif, mais comme nous allons le voir, nous émettons cependant certaines retenues.

      Le premier test est réussi à 49 %, nous n’en espérions pas autant pour une première épreuve, de prime abord assez impressionnante pour les élèves : ils n’ont pas l’habitude d’être serrés pas le temps à ce point.

      Là où nous sommes relativement déçus, c’est au second test. Les procédures de calcul y étant initialisées, nous espérions que ce test procurerait de bien meilleurs résultats. Deux explications peuvent justifier cette déception. Ce ne sont pas seulement les méthodes mentales a proprement parler qui posent problèmes aux élèves. L’obstacle est peut être également ancré dans l’exécution des quatre opérations usuelles que ces procédures imposent. Il faudra leur donner les moyens de contrôler leurs erreurs éventuelles. Par ailleurs, les élèves prennent trop de temps pour contrôler le bien-fondé des procédures proposées, et sont naturellement incités à les choisir. Sans indication, ils adoptent des méthodes qui correspondent davantage à leur capacités mathématiques.

      Mais l’entraînement reste un moteur de progression. Après ces deux premières épreuves, une séance sur la vérification de calcul et une séance de jeux, le dernier test est marqué par une progression globale de 10 % . Hormis trois élèves, tous ont par ailleurs eu de meilleurs résultats à ce dernier test.

      Autre point positif : on voit de façon très nette à travers les résultats que si le nombre de multiplications réussies par la majorité des élèves s’accroît à chaque test, celui des calculs qui posaient problème diminue. Ainsi, peu à peu , les élèves semblent franchir les obstacles.

       

   2. Les séances de calcul rapide en 6^e

    

   1. 1^er test

      Tout comme en 4^e, nous avons décidé d'effectuer un premier test d'entraînement, qui a également pour objectif de mettre en pratique le premier cours.

      Les collégiens ont cinq minutes pour effectuer vingt calculs : des multiplications par 2 et par 4, des divisions par 5, et des multiplications issues des tables [Annexe 8].

      Au signal du professeur, ils retournent leur feuille comme un seul homme, montrant ainsi qu'ils ont à cœur de réussir ce nouvel exercice, moins ennuyeux, apparemment, que les petits contrôles qu'ils ont l'habitude d'effectuer.

      Le taux de réussite est de 65%. Ce succès s'explique par la simplicité des calculs demandés. Notre intention était de ne pas mettre nos élèves en situation d'échec dès le premier test.

       

   2. Les quatre tests suivants

      Contrairement aux tests effectués à Saint-Memmie, ceux de Mourmelon ne sont pas tous identiques. En effet, les 6^e ne connaissant pas encore les techniques de multiplication mentale, nous avons choisi de suivre la progression des cours. Les quatre tests qui suivent sont donc de difficulté croissante. [Annexe 8]

      Pour être plus précis, le test 2 et le test 3 ont à peu près la même difficulté. Ils se sont déroulés l'un comme l'autre entre la deuxième et la troisième séance de cours. Le quatrième test a eu lieu la semaine de la séance "décomposer pour multiplier". Enfin, le cinquième a suivi la séance sur la distributivité.

      La classe de 6^e étant particulièrement hétérogène, nous avons également fait le choix de diversifier la difficulté des calculs. Les meilleurs élèves, (qui sont d'ailleurs les plus motivés par ces exercices) ne doivent pas pouvoir réussir le test entièrement dans le temps imparti, afin qu'ils aient toujours l'envie de progresser. Par contre, les élèves les plus faibles ne doivent pas être découragés par la difficulté des calculs proposés. Le grand nombres des opérations nous permet d'élaborer une telle stratégie.

      Nous avions choisi de nous intéresser uniquement à la multiplication mais celle ci étant intimement liée à la division, et puisque certaines multiplications se font plus facilement par l'intermédiaire de décompositions, nos tests s'intéressent à quelques quotients. Cependant, ce ne sont que des divisions par 2, par 4, par 5, par 10. Celles qui ne rentrent pas dans ce cadre sont des divisions issues directement des tables de multiplication.

      Intéressons nous à présent aux résultats.

      	Test 2	Test 3	Test 4	Test 5
      Pourcentages de réussite	42%	61%	42%	44%

       

      Bien évidemment, le fait que ces résultats ne soient pas en progression s'explique par l'accroissement de la difficulté entre chaque test. Il nous est donc au vu de ces résultats, difficile de juger de la progression des élèves.

      C'est la raison pour laquelle nous avons choisi de séparer les calculs en différentes classes dont nous avons étudié les résultats de manière indépendante.

      Dans le tableau qui suit nous classons dans "table à l'envers" toute division issue des tables de multiplication (comme 49¸ 7 ou 54 ¸ 6).

      Pourcentages de réussite par type de calcul :

      	Test 2	Test 3	Test 4	Test 5
      tables	77%	62%	64%	81%
      tables à l'envers	27%	49%	48%	54%
      multiplication par 2	61%	88%	77%	85%
      multiplication par 4	70%	58%	60%	87%
      multiplication par 8	*	*	37%	27%
      division par 5	14%	41%	40%	23%
      division par 2	42%	56%	*	58%
      division par 4	26%	44%	*	*
      multiplication par 5	88%	72%	70%	*
      puissances de 10	*	*	36%	65%
      autres	*	*	28%	33%

       

      Ce tableau nous permet de constater que contrairement à ce que pouvaient nous faire croire les résultats globaux, les élèves ont bel et bien progressé. En effet, pour une grande majorité des différents types de calculs, la réussite est bien meilleure au dernier test qu'au premier. Seules exceptions à cette règle : la multiplication par 5 et celle par 8. L'enseignant reviendra donc particulièrement sur ce type de calcul lors de prochaines séances.

      Il apparaît également que, mise à part celle par 2, les divisions sont assez mal réussies. Les élèves ont déjà montré qu'ils avaient assez peu d'affinité avec cette opération. C'est peut-être la raison pour laquelle la méthode par décomposition en facteurs est assez peu utilisée en 6^e comme en 4^e. Pour y remédier, nous prévoyons en 4^e un jeu où les élèves devront chercher les diviseurs de nombres entiers.

       

   3. Bilan

      Là encore, le bilan nous apparaît globalement positif. Les élèves se sont investis dans cet exercice peu ordinaire, et ils semblent avoir fait des progrès.

      Cependant, la motivation des élèves étant un facteur essentiel de réussite pour ce genre d'exercice, nous estimons qu'il ne doit pas être répété trop souvent, afin d'éviter d'engendrer un phénomène de lassitude.

       

6. Vérifications de résultats

Savoir calculer juste, c’est aussi être capable de déceler efficacement une erreur éventuelle. Ils nous a semblé intéressant de réaliser une séance sur les vérifications de calculs.

En 4^e, les élèves ont les connaissances suffisantes, il suffit donc d’exposer les méthodes. Au tableau, le professeur écrit les quatre égalités suivantes :

1. 74´ 38=2653

2. 74´ 38=1982
3. 74´ 38=2134
4. 74´ 38=2772
5. 74´ 38=2812

L’élève a pour consigne de trouver les égalités qui sont fausses, sans effectuer la multiplication.

A la surprise de l’enseignant, ils semblent particulièrement démunis. L’un d’eux demande : " Comment peut-on connaître le résultat si l’on n’effectue pas la multiplication ? ". Cette question est très révélatrice. La démarche naturelle du collégien est de chercher ce qui est juste, pas ce qui est faux. C’est la démarche inverse qu’ils doivent adopter ici. On les guide dans ce sens.

Pourquoi peut on affirmer que la première égalité est fausse ? Un bon élève explique à la classe que 4´ 8 faisant 32, le produit 74´ 38 se termine nécessairement par 2. Les élèves semblent tous adhérer au raisonnement de leur camarade.

Mais pour l’égalité b), plusieurs affirment qu’elle est fausse : puisque 4´ 8=32, le résultat de 74´ 38 se termine par 32... On doit donc faire une mise au point en copiant au tableau l’algorithme écrit de ce produit. Du produit 4´ 8, 74´ 38 ne conserve donc que le chiffre des unités, 2. Ils affirment alors qu’elle est juste. Un élève rétorque alors spontanément que 7´ 3=21, donc le résultat devrait être plus grand que 2100. Les autres élèves sont d’accord.

Pour la troisième égalité, ils sont unanimes : le chiffre des unités du produit devrait être 2, et non 4. D’autres ajoutent que le produit de 74´ 38 est certainement proche du produit 70´ 40, i.e. de 2800.

Enfin, le professeur demande quelle est le résultat juste entre d) et e). les élèves réinvestissent ce que l’on vient de faire, mais restent dubitatifs. 2772 et 2812 ont le même ordre de grandeur, et ont tous deux 2 pour chiffre des unités… Ils sentent alors bien que nos méthodes ont leurs limites. Ce sont des outils de vérification, certes, mais ils nous permettent de repérer certains types d’erreurs seulement. Pour trouver le résultat juste, rien ne peut remplacer le calcul effectif.

L’enseignant prend alors la parole en s’appuyant sur les questionnaires d’élèves. Ils pensaient tous savoir utiliser leur calculatrice, seuls trois d’entre eux ont effectué correctement les trois calculs posés. Les ordres de grandeurs constituent un outil très performant pour contrôler un calcul machine, qu’il exploite la multiplication ou un autre type d’opération.

Suivent ensuite quelques exemples rapides, puis un exercice ramassé. Celui ci exploite la grille de multiplication des séances de calcul rapide. Y ont été ajoutés des résultats. La moitié d’entre eux est juste, l’autre est fausse. On demande naturellement aux élèves d’indiquer lesquels sont justes, et quel est l’outil qui les a aidé pour chaque réponse [Annexe 9].

En dix minutes, ils ont ainsi testé l’efficacité des méthodes qui venaient d’être exposées. Elles semblent être bien passées, même si les élèves ont peinés pour valider d’une part les résultats justes, d’autre part les résultat faux qui avait cependant un chiffre des unités et un ordre de grandeur corrects.

 

7. Les séances de jeux
   1. La séance de jeux en 4^e 

   Après les deux premières séances de calcul rapide et celle sur le contrôle des résultats, nous voulions développer chez les élèves une perception ludique du calcul mental.

   Nous pensons que si nous réussissons par la pratique du calcul mental à leur procurer une certaine distraction, un certain plaisir, voire un sentiment de défi personnel, ils le réinvestiront par la suite plus volontairement. Les objectifs de cette séance sont donc simples : les élèves doivent faire des mathématiques en s’amusant, tout simplement. Le calcul mental étant un terrain propice pour travailler par le jeu, nous décidons d’en expérimenter deux.

   Il faut préciser que nous exécutons cette séance un petit peu à reculons. Non pas que le principe nous déplaise, mais l’ambiance entre les élèves s’est depuis peu dégradée. De plus, elle se déroule quelques jours avant les vacances de Pâques, et il y a comme un parfum de liberté qui flotte dans l’air. Bref, les conditions ne nous semblent pas idéales pour une séance placée sous le signe de la détente et du jeu…

   L’essai sera cependant convaincant. On sous estime vraiment le plaisir que les élèves prennent aux jeux. Peut être parce qu’ils leur semblent en décalage avec la rigidité de la structure scolaire...

    

   1. Le Loto

      Un classique parmi les classiques. Son gros avantage, c’est que l’on peut vraiment adapter aussi bien sa structure malléable que ses règles très souples pour atteindre des objectifs précisément ciblés. Notre Loto en vise plusieurs.

       

      1. Objectifs

      Tout d’abord, le travail de la multiplication mentale. Sur les grilles distribuées aux élèves, les nombres imprimés correspondent à des produits. L’enseignant énoncera donc mentalement la multiplication, l’élève devra quant à lui vérifier mentalement si sa grille contient ou pas le résultat correspondant.

      Un autre objectif est également de motiver la rapidité d’exécution. En cela, notre Loto diffère du traditionnel puisque seul le premier élève à avoir trouvé le bon résultat marque la case correspondante.

      Par ailleurs, nous avons placé sur chaque grille les nombres dans l’ordre croissant. Peut être les élèves les plus astucieux pourront-ils ainsi à l’usage utiliser des ordres de grandeur pour accéder plus rapidement aux produits.

      Enfin, le jeu doit être accessible au plus grand nombre. Pour travailler dans ce sens, pour un résultat nous avons proposé plusieurs multiplications adéquates. Si lors d’un premier tour un élève n’a pas su calculer un certain produit, le tour suivant comprend un autre multiplication, plus simple, mais menant au même résultat.

       

      2. Déroulement

      Voici un exemple de grille distribuée aux élèves, avec en vis à vis les multiplications correspondantes, énoncées pas le professeur :

      

      Dès le début, la majorité du public semble plutôt enthousiaste. Les élèves se prennent rapidement au jeu, bien que les règles soient assez difficilement établies. Ils participent beaucoup, volontairement. Plus rapidement que prévu, ils sont d’ailleurs nombreux à raisonner avec les ordres de grandeur. Tous semblent s’activer mentalement dès qu’un calcul est donné. Après certains calculs, on demande parfois d’expliciter la procédure employée, si jamais cette fois ci ils pouvaient tous l’assimiler…

      Mais l’enseignant doit prendre au sérieux son rôle d’arbitre. Il donne parfois la parole à un élève, sans avoir vu qu’il n’était pas le premier à avoir trouvé un résultat. Certains protestent, mais toujours dans un bon esprit. Certains élèves parmi les plus faibles interviennent quand, arrivés au terme de leur calcul, un meilleur leur souffle le point d’extrême justesse. On les remotive alors, et ils se replongent dans le jeu…

      Restent deux ou trois cas incurables, qui voient dans le supplément de liberté qui leur est accordé ici l’occasion de regarder tranquillement le temps passer…

       

   2. Le Tableau " multiples et diviseurs "

   Commençons par présenter le document distribué aux élèves :

   

   La consigne nous semblait simple. Elle ne l’est pas pour un bon nombre d’élèves. Le but du jeu est de cocher le plus grand nombre de cases possible dans la grille en respectant les règles suivantes. Pour débuter le jeu, on doit cocher une première case au choix dans la grille, puis une suivante qui doit contenir soit un diviseur, soit un multiple du nombre inscrit dans la case précédemment cochée. Ainsi de suite…

   Ce jeu, très rapide à mettre en œuvre, est intéressant à plusieurs points de vues. D’une part, il suscite une importante réflexion sur les notions de multiples et de diviseurs, en induisant un travail sur les tables et la multiplication. De plus l’élève a des choix stratégiques à faire : un nombre peut avoir dans la grille plusieurs multiples ou diviseurs, l’un d’entre eux ouvre peut être un meilleur chemin que les autres.

   Notons que l’on peut également en varier la complexité. Il est raisonnablement possible de présenter une grille 20´ 20, numérotée de 1 à 400…

    

   3. Bilan

    

   Cette séance a été enrichissante à plusieurs niveaux. D’une part, elle nous a permis d’apprécier la force de l’outil jeu pour éveiller l’intérêt des collégiens. D’autre part, les élèves ont pour la majorité pratiqué le calcul mental en s’amusant, motivés et volontaires, décidés a donner le meilleur d’eux-mêmes. Nos objectifs ont tous été atteints, malgré nos craintes.

   2. La séance de jeux en 6^e

   Cette séance s'est déroulée en deux parties.

   L'objectif de la première est de faire pratiquer aux élèves les méthodes de vérification d'un résultat et de les convaincre de l'utilité de ces méthodes.

   La seconde partie a pour but d'apprendre aux élèves à organiser un calcul, à manier des opérations successives.

   Pour faciliter son analyse, cette séance a été filmée.

   1. Vérifications de résultats
      1. Déroulement

      La première partie dure environ 25 minutes.

      Le professeur commence par demander aux élèves de lui rappeler en quoi consiste la preuve par 9 et la méthode du dernier chiffre. La suite se déroule de la façon suivante :

      Une multiplication est écrite au tableau. Les élèves lèvent le doigt dès qu'ils ont un résultat. On les relève tous, celui qui est juste comme les autres. Les élèves sont ensuite chargés, en utilisant l'ordre de grandeur, le dernier chiffre et la preuve par 9, d'éliminer tous les résultats faux.

      2. Analyse

      Nous avons d'abord constaté avec soulagement que pour chacun des calculs proposés, il y avait toujours un élève qui proposait le résultat juste. Un autre satisfaction a été de voir que les méthodes de vérification permettaient à chaque fois d'éliminer tous les résultats faux.

      Pour le premier calcul, 63 ´ 21, les réponses proposées sont :

      186; 1323; 249; 1886; 189; 786; 1896.

      Des élèves remarquent tout de suite que la méthode du dernier chiffre permet d'éliminer tous les résultats sauf un. Cependant, le professeur leur fait appliquer les autres procédés. Puisqu'elles ne sont plus utiles sur cet exemple, peut-être aurait-il été plus pertinent de passer directement au suivant.

      Les résultats pour la deuxième opération, 17 ´ 17, sont :

      509; 289; 214; 219; 510; 429; 400; 309.

      On peut noter que, contrairement à l'exemple précédent, le dernier chiffre est presque toujours correct, ce qui nous laisse supposer que les élèves commencent à avoir un regard critique vis à vis de celui-ci.

      Le troisième exemple, 21 ´ 51, induit les réponses :

      1071; 1050; 1061; 1051; 1002; 1031.

      Là encore, le dernier chiffre est rarement faux et on constate de surcroît que les élèves sont à présent attentifs à l'ordre de grandeur des nombres qu'ils énoncent.

      Le professeur profite de cet exemple pour rappeler que ce calcul se fait facilement par distributivité mais l'attention dans la classe semble faible. Peut-être que le moment est mal choisi mais il nous semble plus probable que le mot "distributivité" a un effet rebutant en 6^e.

      Un quatrième exemple est plébiscité par les élèves, il semble que ce scénario leur plait.

      On leur propose 14 ´ 16, et ils répondent : 200; 224; 222; 234; 216; 214; 228.

      Cependant, nous les soupçonnons fortement de ne plus jouer le jeu: beaucoup posent l'opération, d'autres proposent plusieurs résultats, visiblement au hasard. Il est temps de s'arrêter.

      3. Bilan

         Même si la lassitude s'est faite sentir chez certains par moment, les élèves se sont globalement pris au jeu, et ont apprécié de pouvoir contrôler les réponses de leurs camarades.

         L'évolution des résultats donnés nous amènent à penser que l'objectif est atteint. Les élèves semblent capables d'effectuer dans un délai assez court les vérifications de l'ordre de grandeur et du dernier chiffre. Cependant, ils l'ont fait dans le contexte de l'exercice. En prendront-ils l'habitude? Il nous reste à travailler dans ce sens.

   2. Le Compte est Bon^®
   1. Déroulement

      Dans le temps restant, nous avons mis en place le jeu du "compte est bon"^® dont nous rappelons les règles brièvement :

      Il s'agit d'obtenir un nombre cible de trois chiffres, en effectuant des opérations à partir de six nombres donnés, chacun d'entre eux ne pouvant être utilisé qu'une seule fois.

      Par exemple, pour obtenir 216 en utilisant 2, 1, 4, 6, 10 et 4, on peut faire :

      ( ( 6 + 4 + 1 ) ´ 2 ´ 10 ) – 4

      Les règles sont données oralement. Les élèves disposent de deux minutes et demi pour trouver une solution. Toutes les solutions sont ensuite exposées.

   2. Analyse

   Ce jeu s'est révélé très difficile à mettre en place en classe entière de 6^e en aussi peu de temps.

   Nous avons eu la surprise de constater qu'aucun élève ne connaissait parfaitement les règles; en effet, beaucoup pensaient qu'il était possible d'utiliser plusieurs fois les nombres donnés, d'autres qu'il fallait à tout prix les utiliser tous. Bien que nous ayons commencé par donner un exemple, nous ne l'avons pas résolu, ce qui, à notre avis, explique en partie ces difficultés.

   La première manche, qui a duré dix minutes, n'a donc pas été concluante puisque aucun élève n'a été capable de fournir une réponse satisfaisante. Dans chaque cas, l'un des nombres était utilisé plusieurs fois. Ces dix minutes sans gagnant ont été selon nous un facteur démotivant.

   La deuxième et dernière manche a été plus concluante. Quatre élèves ont fourni un résultat correct dont un aboutissant exactement au bon compte.

   Maintenant qu'ils connaissent les règles du jeu, il sera sûrement intéressant de renouveler l'expérience.

    

   3. Bilan

      Malgré ces quelques déceptions, le bilan reste positif. En effet, les élèves, dans ce contexte ludique, on montré un véritable enthousiasme dans la recherche des problèmes posés. Il est flagrant qu'ils ont, sans s'en rendre compte, travaillé beaucoup plus efficacement que lors des séances habituelles. De plus, nous pensons avoir, par cette expérience, altéré chez certains d'entre eux l'image rébarbative qu'il pouvaient avoir du calcul mental. Nous espérons ainsi provoquer une amélioration durable de leurs compétences.

8. Bilan

 

1. En 4^e

Pour faire le bilan de nos séances et mesurer l’impact de notre travail, nous avons prévu de clore nos expérimentations par une évaluation. Pour bien juger des progrès effectués, celle ci est rigoureusement identique à l’évaluation initiale [Annexe 5], avec les mêmes consignes et les mêmes contraintes de temps.

Rappelons en le principe : dix multiplications, cinq données à l’oral, cinq écrites sur l’énoncé.

Nos élèves ont au cours des séances de calcul rapide pris l’habitude de travailler avec une importante contrainte du temps. Ils en ont gardé des automatismes et imposent un rythme soutenu. Finalement, cette évaluation dure deux fois moins longtemps que la première, explicitation des techniques comprise. Mais ont-ils été plus efficaces pour autant ? La réponse est oui.

Le taux de réussite de l’évaluation initiale était de 53 %, le nouveau est de 73 %. D’un point de vue performance, les élèves ont assurément progressé.

Le bilan sur la diversité et la pertinence des différentes procédures employées est quant à lui mitigé :

• La distributivité est énormément employée, plus encore que lors de l’évaluation initiale. Les élèves y ont recours dans 66 % des cas. L’explication réside peut être dans la généralité de cette technique qui s’applique assez aisément à tous les types de multiplications. Toujours est-il, les élèves qui l’emploient l’ont bien assimilée : ils trouvent le bon produit 8 fois sur 10.

• Inversement, le nombre de calculs pour lesquels les collégiens ont posent l’opération de tête est passé de 60 à 4, ce qui représente à peine 2 % des 240 réponses relevées. Les élèves ont ainsi bien réalisé que l’algorithme écrit est loin d’être performant mentalement.

• Pour effectuer les multiplications par 50 ou 25, une petite moitié de nos élèves choisissent la multiplication par 100 suivie d’une division par 2 ou 4. Ils sont tout de même cinq fois plus nombreux que lors de la première évaluation, et 94 % d’entre eux trouvent le bon résultat.

• La décomposition multiplicative reste utilisée par une maigre minorité d’élèves. Cette méthode, il faut bien le reconnaître, n’est efficace que pour un certain type de multiplications bien défini.

• Trop de procédures erronées sont encore utilisées par les élèves. Mélanges confus de distributivité et de décomposition multiplicative, elles représentent comme dans la première évaluation plus de 10 % des méthodes employées.

Ci-dessous, voici deux tableaux qui récapitulent les procédures employées et les résultats qu’elles ont données lors des deux évaluations.



Reste enfin à vérifier si nos élèves ont gagné en confiance. C’est là aussi un point essentiel. C’est cette confiance qui les motivera peut-être pour persévérer et continuer la pratique du calcul mental par eux-même, à l’intérieur ou en dehors du contexte scolaire.

De façon générale, notre indice de confiance est davantage resserré autour de zéro. Lors de l’évaluation initiale, deux tendances se dégageaient. A l’oral, l’indice de confiance de la classe était de -10, autrement dit les élèves manquaient globalement de confiance. A la fin de notre expérimentation, il est à 5. A l’écrit, la tendance s’inversait : l’indice était à 18. A présent, il est de 4 : les collégiens ont modéré l’excès de confiance que l’énoncé de calcul écrit leur procurait.

Rappelons que pour calculer cet indice, on demandait aux élèves de préciser pour chaque produit s’ils étaient sûrs de leur réponse ou pas. Parmi eux certains ont validés parfaitement leurs dix calculs. Leur nombre a doublé d’une évaluation à l’autre.

Ainsi, nos élèves appréhendent mieux leurs capacités et sont plus lucides sur leurs résultats. Dorénavant, ils porteront peut-être plus de crédit à l’outil humain. Nous espérons leur avoir montré qu’il peut être lui aussi efficace et fiable.

2. En 6^e

   Pris par le temps, nous avons été obligé de soumettre aux élèves cette évaluation le vendredi précédant les vacances de Pâques, en dernière heure de l'après-midi. Bien que l'enseignant ait fait appel à plusieurs reprise à leur bonne volonté, il est apparu que beaucoup d'élèves ont modéré leurs efforts, notamment dans l'explicitation de leurs méthodes de calcul. Celles-ci se sont révélées inexploitables. En effet, beaucoup de réponses étaient absentes ou incompréhensibles, d'autres ne pouvaient pas correspondre au résultat donné. Par exemple, certains élèves donnaient une méthode et un résultat faux dans la fiche d'explicitation, alors qu'ils avaient donné le résultat correct dans la fiche de réponses.

   Malgré ces mauvaises conditions, cette évaluation a été largement mieux réussie que la première. En effet, nous avons dénombré cette fois-ci 146 bonnes réponses sur 270, soit 54%. Rappelons qu'il y avait seulement 29% de réussite au premier test.

   Les élèves ont donc bel et bien fait des progrès, mais ont il acquis le regard critique que nous voulions leur transmettre ?

   Pour un résultat correct, ils sont à présent sûrs d'eux à 81%. Il y a donc eu une augmentation de 9% et nous sommes satisfaits de ce résultat.

   Par contre, pour un résultat faux, 33% pensent encore avoir juste. Même si il y a une baisse de 8% par rapport au premier test, nous trouvons ce taux bien trop élevé. Il montre que les élèves n'ont pas encore le réflexe de la vérification du résultat (ils avaient le temps de le faire lors de ce test). Nous avons pensé qu'ils avaient peut-être du mal à effectuer cette vérification lorsque le calcul n'était pas donné à l'écrit. Nous avons alors eu la surprise de constater que le taux était largement plus important à l'écrit qu'à l'oral (43% contre 24%). Ceci témoigne encore que les élèves ont plus d'assurance à l'écrit qu'à l'oral, mais que cette assurance n'est pas justifiée.

   Toutes ces constatations nous amènent à penser que s'il est relativement facile de faire des progrès aux élèves de 6^e en calcul mental, il est beaucoup plus ardu de les amener à une attitude autocorrective. Peut-être sont ils encore un peu jeune pour adopter l'esprit critique que l’on espère voir apparaître chez eux? Nous attendons pour répondre à cette question de lire le mémoire de deux de nos collègues de Reims sur l'Esprit Critique.

4. Conclusion

 

Arrivés au terme de nos recherches et nos expérimentations, nous pouvons donner des éléments de réponses aux interrogations qui ont motivé notre travail.

A l’aube de l’élaboration de ce mémoire, lorsque nous évoquions entre nous la dévalorisation du calcul mental, nous pensions que nos collègues soutenaient cette tendance. Il n’en est rien. Face au flou que les programmes laissent planer à son sujet, il est vrai que beaucoup d’enseignants développent au collège une pratique anecdotique du calcul mental. Cependant, la plupart d’entre eux estiment qu’il constitue un point essentiel dans l’enseignement des mathématiques. Outre les conceptions numériques de nos élèves, sa pratique permet de développer dans un cadre plus général leur concentration, leur réflexion, leur esprit critique, leur autonomie…

En ce qui concerne le point de vue des élèves, notre première impression a été confirmée. Beaucoup estiment que le calcul mental est rendu obsolète par la supposée infaillible calculatrice. Néanmoins, en soulignant la simplicité et l’efficacité de procédures bien choisies, on leur redonne assez facilement l’envie de calculer de tête.

Nos expérimentations ont montré qu’un volume horaire raisonnable, soutenu par des séances appropriées comme celles de calcul rapide ou de jeux, suffit pour réveiller l’intérêt et la motivation des élèves, et voir apparaître des progrès sensibles.

Il serait intéressant d’inscrire notre travail dans la longueur. On pourrait ainsi étudier les répercussions à long terme d’une pratique conséquente du calcul mental sur d’autres domaines des mathématiques, sur le calcul algébrique par exemple.