Pour des solides non-convexes, nous pouvons trouver de nombreux solides réguliers. Comme pour les solides de Platon, ces solides ont des faces constituées de polygones réguliers et identiques et le même nombre de faces à chaque sommet. Ce qui est nouveau est la notion de "tourner deux fois autour du centre" qui vient de ce que les faces se coupent entre elles.
Dans le grand
dodécaèdre étoilé et le petit
dodécaèdre étoilé, les faces sont des pentagones croisés. Le pentagone croisé
est un polygone à cinq côtés dans lequel un chemin partant d'un point quelconque et
revenant à ce point tourne deux fois autour du centre. Ces deux polyèdres ont été
décrits par Johannes Keppler en 1619, et nous lui devons leur première
description mathématique, mais un dessin de
Jamnitzer du 16° siècle est très ressemblant et une
mosaïque du 15° siècle attribuée à Uccello illustre ce qui suit. 
Ces solides ont respectivement trois et cinq pentagones à
chaque sommet. Comme les faces se coupent entre elles, des parties de ces faces sont
cachées par les autres faces et nous devons comprendre que les parties visibles ne sont pas les faces
complètes.
Dans le grand icosaèdre
et le grand dodécaèdre (décrits par Louis
Poinsot en 1809, bien que Jamnitzer fit un dessin du grand
dodécaèdre en1568) les faces (20 triangles et 12 pentagones, respectivement) qui se
rejoignent à chaque sommet "tournent deux fois" et se coupent entre elles, ce
qui est en 3D analogue à ce qui se passe en 2D avec le pentagone croisé. 
Si vous coupez le polyèdre près d'un sommet, vous verrez comme section
un pentagone croisé. Par exemple, cette vue en coupe du grand dodécaèdre
montre comment les 5 pentagones qui se rencontrent à un sommet se traversent les uns les
autres à la manière d'un pentagone croisé.
Les solides de Platon et ces solides de Kepler-Poinsot forment un ensemble de 9 polyèdres réguliers. Cauchy le premier prouva qu'il n'y avait pas d'autre polyèdre avec des faces régulières et identiques et des sommets identiques.
Quelques observations:
- Le grand dodécaèdre a le même nombre de sommets et d'arêtes que l' icosaèdre.
- Le petit dodécaèdre étoilé a le même nombre de sommets et d'arêtes que le grand icosaèdre. Tous deux ont le même nombre de sommets (mais pas d'arêtes) que l'icosaèdre.
- Le grand dodécaèdre étoilé a le même nombre de sommets (mais pas d'arêtes) que le dodécaèdre.
- Tous quatre ont les mêmes axes et plans de symétrie que l'icosaèdre et le dodécaèdre.
Chacun de ces solides est lié au dodécaèdre ou à l'icosaèdre. Leur partie centrale est soit un dodécaèdre, soit un icosaèdre.